动态规划3：矩阵最小路径和问题

题目：有一个矩阵map，它每个格子有一个权值。从左上角的格子开始每次只能向右或者向下走，最后到达右下角的位置，路径上所有的数字累加起来就是路径和，返回所有的路径中最小的路径和。

给定一个矩阵map及它的行数n和列数m，请返回最小路径和。保证行列数均小于等于100.

测试样例：[[1,2,3],[1,1,1]],2,3返回：4

思路：单纯从问题来看，这是一个非常复杂的问题，需要大量的遍历操作。分析得知：每一个位置map[i][j]只可能来自map[i][j-1]向右走一个结点或者map[i-1][j]向下走一个结点，因此只需要比较到达map[i][j-1]和到达map[i-1][j]的路径较小值加上map[i][j]就是所求答案，这时考虑使用递归，但是可知，这种递归处理属于暴力搜索的方式，因为没有对任何已经计算出来的结果进行保存和复用，因此上面这种思路是低效或者不符合要求的，应该使用动态规划来解决问题。

动态规划思想：先求简单值在逐步递推求复杂值，后面的值通过前面的结果来求得。

思路：求出到达每一个结点map[i][j]的最小路径将其保存在数组dp[i][j]中，求任意dp[i][j]的值完全依赖于dp[i-1][j]和dp[i][j-1]，因此先求出dp[][]数组的第1行和第1列，然后从上到下，从左到右计算出每一个位置的结果值。

①创建一个二维数组记录每个位置的最小路径dp[n][m];

②求出dp[][]中第1行和第1列的结果填充到dp[][]中；注意：在动态规划问题中第1行和第1列需要手动求出，需要根据问题的要求进行求解，一般第1行和第1列的求解很简单。

③从上到下，从左到右，通过二重循环求出任意dp[i][j]的结果填充到dp[][]中；注意：二重循环中i,j都是从1开始进行遍历，即从矩阵第2行第2列的位置开始填充。

④最后dp[n-1][m-1]就是所求的结果。

import java.util.*;//矩阵最短路径和问题：动态规划4部曲public class MinimumPath {    public int getMin(int[][] map, int n, int m) {        //特殊输入        if(map==null||n<=0||m<=0) return 0;        //①创建动态规划结果矩阵dp[][]        int[][] dp=new int[n][m];        //②求解第1行第1列的结果值        dp[0][0]=map[0][0];        for(int i=1;i<m;i++){            dp[0][i]=dp[0][i-1]+map[0][i];        }        //求第1列的结果值        for(int i=1;i<n;i++){            dp[i][0]=dp[i-1][0]+map[i][0];        }        //③从上到下，从左到右求任意dp[i][j]        for(int i=1;i<n;i++){            for(int j=1;j<m;j++){                dp[i][j]=map[i][j]+Math.min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);            }        }        //④返回右下角的结果值        return dp[n-1][m-1];    }}