春季训练#1

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A

原题CF805A

大意：给定l，r，写下[l,r]中所有数的所有非1约数，问出现次数最多的约数。

2显然是出现最多的之一（本身数值较小，在区间内可多次出现）

l=r的时候可能l并非偶数，答案为l本身即可

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B

原题CF805C

大意：数轴上n个点编号为1~n，从i跳到j的代价是(i + j) mod (n + 1)，不限起止点，求遍历完n个点的最小总代价

贪心，从1出发跳到n，代价为0，n跳到2，代价为1，2跳到n - 1，代价为0，......，答案为(n- 1) / 2

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C

原题CF805D

大意：一个仅含a，b的字符串中，子串"ab"可以通过一步操作变为"bba"，要使字符串中不再有"ab"子串，求最少操作步数

从字符串末尾往前遍历，对每一个a，操作次数是其后面b的数量。

注意在遍历的过程中，每一个a被遍历到后，操作会使得其后面b的数量翻倍

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D

原题CF805B

大意：构造一个n位长度的仅由a，b，c三个字符组成的字符串，其中没有长度为3的子串（如"aba"）

构造一个aabbaabbaabbaabb......的字符串，取其前n位即可

甚至用不到c（第一发交的是aabbaacc...）

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E

原题CF805E

大意：一棵n个结点的树T，有m种冰激凌，每个结点i有一个大小为s[i]的冰激凌种类的集合

对任意1<=i<=m，集合内含有第i种冰激凌的结点都能形成一个连通图

现在构造一个含有m个结点的新图G，G中结点存在边(u,v)当且仅当树T中有结点的集合中含有u，v两种冰激凌

现将G染色，G中相邻两点不能有相同的颜色，求所需颜色的最小值

阅读理解题系列，重要信息：“对任意1<=i<=m，集合内含有第i种冰激凌的结点都能形成一个连通图”。

也就是说，树上冰激凌的分布是连续的

考虑从遍历树T的结点时引入G中所有的边

仅遍历一个结点i时，该结点的冰激凌集合中的每两个互异元素都能形成一条无向边，在空图G中实际形成了一个为完全图的子图

对这个完全图，需s[i]种颜色，因为这个子图中每个结点的颜色都与其他结点不同

考虑其儿子结点，当前结点内集合进行染色后，其儿子结点内集合有已经染完色的，也有未染色的

但多个儿子的未染色的G中结点一定互异，因为这些未染色的G中结点是在父节点没有出现的，也就是出现了间断

这就像一个蜂巢状的结构，每个小格代表一个树上结点，小格内是一个完全图，小格边界是那些由父到子时连续下来的G中结点，小格之间的染色互不影响

因此ans=max(s[i])，染色时，对未染色的集合按照集合内尚未出现的最小编号（从1开始）依次染色

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F

原题CF776E

大意：给你一堆奇怪函数让你算..数学语言都看得懂吧

由x + y = n, gcd(x, y) = 1, 有gcd(x, n - x) = gcd(x, n) = 1

f(n)其实就是欧拉函数phi(n)，g(n)则是简单的狄利克雷卷积——g(n)=n

F函数则是phi的迭代，注意到当n为偶数时，phi(n) <= n / 2，因此只需O(log n)次迭代，n=1时直接返回1即可

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G

原题CF776D

大意：有n扇门，m个开关，每扇门都有正好两个开关控制，给定初始n扇门的开关状态，问能否通过操作开关使得n扇门全部打开

重要信息：“each door is controlled by exactly two switches.”

门的初始状态和最终状态都是确定的，因此每扇门的开关也能相应确定状态：

若门初始是开的，那么其两个开关必须同开同闭

若门初始是关的，那么其两个开关必须一开一闭

并查集维护，结点i表示开关i开，i+m表示开关i闭

若最后出现了开关i又开又闭的情况，则说明矛盾，无解（i和i+m出现在同一集合中）

（也能2-SAT水过）

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H

原题CF776A

大意：sb模拟

sb模拟即可

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