[bzoj2186]: 莎拉公主的困惑（欧拉函数+乘法逆元）

2186: [Sdoi2008]沙拉公主的困惑

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Description

　　大富翁国因为通货膨胀，以及假钞泛滥，政府决定推出一项新的政策：现有钞票编号范围为1到N的阶乘，但是，政府只发行编号与M!互质的钞票。房地产第一大户沙拉公主决定预测一下大富翁国现在所有真钞票的数量。现在，请你帮助沙拉公主解决这个问题，由于可能张数非常大，你只需计算出对R取模后的答案即可。R是一个质数。

Input

第一行为两个整数T，R。R<=10^9+10，T<=10000，表示该组中测试数据数目，R为模后面T行，每行一对整数N，M，见题目描述 m<=n

Output

共T行，对于每一对N，M，输出1至N！中与M！素质的数的数量对R取模后的值

Sample Input

1 11
4 2

Sample Output

1

数据范围：
对于100%的数据，1 < = N , M < = 10000000

HINT

Source

题解

看到此题觉得好难啊 其实也好难  于是乎去翻题解 找了好多都没有解释清楚 终于找到下面这个写的不错

参考http://blog.csdn.net/u013486414/article/details/48878353

题意：求1~n!中与m!互质的数的个数，且m<=n(1 < = n , m < = 10000000) 
思路：因为m<=n，所以m！能被n！整除，那么我们很容易推出下面结论： 
对于两个正整数n和m，，如果n是m的倍数，那么1~n中与m互质的数的个数为n/m*Eular(m)。 
因为欧拉函数的通式为：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)。所以对于本题目来说，答案如下： 
 
其中pi为<=m的所有素数，因为对于1-1/pi=(pi-1)/pi=(pi-1)*inv(pi)，所以这里要用到逆元，对于1~p中模p的逆元，如果p很大，那么有一个递推式可以求逆元：inv[i]=(m-m/i)*inv[m%i]%m,初始化inv[1]=1。

以上引用

但是本人不会这个求逆元的递推式 用扩展欧几里得做也同样可以求出逆元

此题的关键是预处理出 阶乘 逆元 和质数 和ans=（1-1/p1）(1-1/p2).....(1-1/pk)

//参考：http://blog.csdn.net/u013486414/article/details/48878353#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cmath>#include<queue>#define N 10000000#define maxk 1000000#define ll long longusing namespace std;ll prime[maxk],ine[N+100],fac[N+100],tot,R,ans[N+100];bool flag[N+100];int T,n,m;int x,y;void exgcd(int a,int b){if(b==0) {x=1;y=0;}else {exgcd(b,a%b);int t=x;x=y;y=t-(a/b)*y;}}void pre(){fac[1]=1;    for(int i=2;i<=N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%R;for(int i=2;i<=N;i++){if(!flag[i]){prime[++tot]=i;exgcd(i,R);ine[i]=(x+R)%R;}for(int j=1;j<=tot;j++){int to=i*prime[j];if(to>N) break;flag[to]=1;if(i%prime[j]==0) break;}}ans[1]=1;for(int i=2;i<=N;i++){ans[i]=ans[i-1];//不是素数就传递 if(!flag[i])ans[i]=(ll)ans[i]*(i-1)%R*ine[i]%R;}}int main(){scanf("%d%d",&T,&R);pre(); while(T--){scanf("%d%d",&n,&m);        printf("%lld\n",fac[n]*ans[m]%R);}return 0;}