第一类Stirling 数 与 第二类Stirling 数
来源:互联网 发布:哪里有淘宝店铺出租 编辑:程序博客网 时间:2024/04/20 13:51
第一类Stirling数 s(p,k)
s(p,k)的一个的组合学解释是:将p个物体排成k个非空循环排列的方法数。
s(p,k)的递推公式: s(p,k)=(p-1)*s(p-1,k)+s(p-1,k-1) ,1<=k<=p-1
边界条件:s(p,0)=0 ,p>=1 s(p,p)=1 ,p>=0
递推关系的说明:
考虑第p个物品,p可以单独构成一个非空循环排列,这样前p-1种物品构成k-1个非空循环排列,方法数为s(p-1,k-1);
也可以前p-1种物品构成k个非空循环排列,而第p个物品插入第i个物品的左边,这有(p-1)*s(p-1,k)种方法。
第二类Stirling数 S(p,k)
S(p,k)的一个组合学解释是:将p个物体划分成k个非空的不可辨别的(可以理解为盒子没有编号)集合的方法数。
k!S(p,k)是把p个人分进k间有差别(如:被标有房号)的房间(无空房)的方法数。
S(p,k)的递推公式是:S(p,k)=k*S(p-1,k)+S(p-1,k-1) ,1<= k<=p-1
边界条件:S(p,p)=1 ,p>=0 S(p,0)=0 ,p>=1
递推关系的说明:
考虑第p个物品,p可以单独构成一个非空集合,此时前p-1个物品构成k-1个非空的不可辨别的集合,方法数为S(p-1,k-1);
也可以前p-1种物品构成k个非空的不可辨别的集合,第p个物品放入任意一个中,这样有k*S(p-1,k)种方法。
第一类斯特林数和第二类斯特林数有相同的初始条件,但递推关系不同。 from ACdreamer
第一类 模板:
const int N=30;typedef long long ll;ll stir[N][N];void init(){ int i,j; memset(stir,0,sizeof stir); stir[0][0]=0; stir[1][1]=1; for(i=2;i<N;i++) for(j=1;j<=i;j++) stir[i][j]=stir[i-1][j-1]+stir[i-1][j]*(i-1);}
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