[bzoj2186]沙拉公主的困惑 欧拉函数+逆元

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概述

题目大意如下。

给定两个正整数n和m，问有多少个x满足1≤x≤n! 且gcd(i,m!)=1. 答案对R取模，题目有多组数据.(1≤m,n≤10000000, R≤1e9+10).

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题解

这题真的值得一做，作者想了一晚上才想出大致思路，第二天才写成代码。

记答案为Ans，则有：

Ans=∑i=1n![gcd(m!,i)=1].

乍一看这个式子，似乎已经整理的差不多了，没办法进一步转化。事实上单看这个式子也的确没什么好的转化方法，那么如何解决这个问题呢？

先给出一条结论：

∑i=1k×m[gcd(m,i)=1]=k×φ(m).

证明：

• 我们可以先证明在1 ~ 2×m之间与m互质的数有2×φ(m)个。

• 已知在1 ~ m中与m互质的数共有φ(m)个，设它们是p1、p2……pφ(m)，显然对于任意的pi都有gcd(pi,m)=1。

• 既然pi都与m互质，那pi+m还与m互质吗？答案是肯定的。

• 我们现在想验证gcd(pi+m,m)是否为1，那么可以利用辗转相除法，得到gcd(pi+m,m)=gcd(m,(m+pi)mod m)=gcd(m,pi)=1.验证完毕。

• 所以我们得知：若pi与m互质，那么pi+m也与m互质。

• 那是否存在整数q∉{pi+m}，且gcd(q,m)=1呢？

• 答案是否定的。我们可以由上面的验证的结果反证，若q与m互质，则q−m也与m互质，那么q−m一定属于{pi}，所以q一定属于{pi+m}.

• 所以在1 ~ 2×m中，不存在整数q使得q−m∉{pi}且q与m互质，故与m互质的数一共2×φ(m)个。

• 以此类推，在1 ~ 3×m中共有3×φ(m)个……1 ~ k×φ(m)中一共有k×φ(m)个。

• 证明完毕。

所以，题目就是在求：φ(m!)×n!m!. ···········(1)

我们将m!质因数分解：

m!=∏i=1totprii.

那么我们可以对(1)式进行转化：

Ans=n!m!×φ(m!)= n!m!×m!×∏i=1totpi−1pi= n!×∏i=1totpi−1pi.

由于m!=∏mi=1i，所以m!的所有质因子都小于等于m，故我们只需要求得1 ~ m之间所有质数即可。至于阶乘，预处理就行了。

综上：

Ans=n!×∏i=1totpi−1pi.(mod R)

不过这题我真的想要吐槽，我的写法是：线性筛质数之后，再记录一个“前缀积”记录∏ni=1pi−1pi方便计算答案，结果TLE。卡常无果之后，将long long改成int结果跑的飞快。所以我得到结论：卡常不如卡空间。

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代码

#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cmath>#include<ctime>#define ll long long#define For(i,j,k) for(register int i=j; i<=(int)k; ++i)#define Forr(i,j,k) for(register int i=j; i>=(int)k; --i)#define INF 0x3f3f3f3fusing namespace std;const int maxn = 10000000+5;int T, R, n, m, Ans, tot;int f[maxn], inv[maxn], pri[maxn>>3], num[maxn];bool vis[maxn];inline void file(){    freopen("a.in", "r", stdin);    freopen("a.out", "w", stdout);}inline void read(int &x){    char c;    while((c=getchar())<'0' || c>'9');    x = c-'0';    while((c=getchar())>='0' && c<='9')        x = x*10+c-'0';}//数据较多，读入优化. void ext_gcd(int a, int b, int &x, int &y){    if(!b){        x = 1,  y = 0;        return;    }    ext_gcd(b, a%b, x, y);    int temp = x;    x = y;    y = temp-a/b*y;}inline int get_inv(int temp){    int x, y;    ext_gcd(temp, R, x, y);    if(x < 0)   x += R;    return x;}//扩展欧几里得求逆元 inline void get_f(){    inv[0] = inv[1] = f[0] = f[1] = 1;    For(i, 2, maxn-5)        f[i] = (ll)f[i-1]*i%R;}inline void get_pri(){    tot = 0;    For(i, 2, maxn-5){          if(!vis[i]){            pri[++ tot] = i;            inv[i] = get_inv(i);        }        for(register ll j=1,x; j<=tot&&(x=i*pri[j])<=maxn-5; ++j){            vis[x] = true;            if(i%pri[j] == 0)   break;        }    }}inline void get_num(){    num[1] = 1;    For(i, 2, maxn-5){        num[i] = num[i-1];        if(!vis[i])            num[i] = (ll)num[i] * (i-1)%R * inv[i]%R;    }}inline void init(){    get_f();//预处理阶乘.     get_pri();//线性筛质数.     get_num();//预处理小于等于m的质数的贡献. }int main(){    read(T), read(R);    init();    while(T --){        read(n), read(m);        printf("%d\n", (ll)f[n]*num[m]%R);//计算答案.     }    return 0;}

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小结

这题的结论不太容易想到，但一旦发现了结论，那么问题迎刃而解，所以这题权当积累经验了。
不过，卡常效果不如卡空间这一点我是真的无fuck说。

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——wrote by miraclejzd.