cordic算法详解

来源:互联网 发布:睡眠面膜 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/06/20 00:52

转载自小一休哥的文章:http://blog.csdn.net/qq_39210023/article/details/77456031

目前,学习与开发FPGA的程序员们大多使用的是Verilog HDL语言(以下简称为Verilog),关于Verilog的诸多优点一休哥就不多介绍了,在此,我们将重点放在Verilog的运算操作上。

我们都知道,在Verilog中,运算一般分为逻辑运算(与或非等)与算术运算(加减乘除等)。而在一开始学习Verilog时,老司机一定会提醒我们,“切记,千万别用‘/’除、‘%’取模(有的也叫取余)和‘**’幂。”这话说的不无道理,因为这三个运算是不可综合的。但,需清楚理解的是,不可综合的具体意思为不能综合为简单的模块,当我们在程序中调用了这些运算时,‘/’除和‘%’取模在Quartus软件中是可以综合的,因此可以正常调用运行,但是会消耗一些逻辑资源,而且会产生延时,即这两个运算的处理时间会很长,可能会大于时序控制时钟的单周期时间。此时呢,我们会建议你调用IP核来实现运算操作,虽然这样也会消耗许多逻辑资源,但产生的延时相对较小满足了你基本的需求。
问题好像迎刃而解了,可是仔细一想,除了这些运算,我们还剩下什么?对呀,三角函数,反三角函数,对数函数,指数函数呢,这些函数我们在高中就学习了的呀,难道在FPGA中就没有用武之地吗?有人会说,查找表呗,首先将某个运算的所有可能的输入与输出对一一罗列出来,然后放进Rom中,然后根据输入查表得到输出。这个方法虽然有效的避免了延时问题,却是一个十分消耗资源的方法,不适合资源紧张的设计。那么,就真的没有办法了吗?

答案就是咱们今天的标题了,CORDIC,而且CORDIC是一个比较全能的算法,通过这一原理,我们可以实现三角函数,反三角函数,对数函数,指数函数等多种运算。接下来,一休哥就带领大家来学习CORDIC的原理吧。(题外话:请相信一休哥,本文不会让你感到太多痛苦~)
本文将分三个小部分来展开介绍:
1、CORDIC的基本原理介绍
2、CORDIC的具体操作流程介绍
3、CORDIC的旋转模式——Verilog仿真
本文涉及到的全部资料链接:
链接:http://pan.baidu.com/s/1gfrJzMj 密码:x92u

一、CORDIC的基本原理介绍

CORDIC算法是一个“化繁为简”的算法,将许多复杂的运算转化为一种“仅需要移位和加法”的迭代操作。CORDIC算法有旋转和向量两个模式,分别可以在圆坐标系、线性坐标系和双曲线坐标系使用,从而可以演算出8种运算,而结合这8种运算也可以衍生出其他许多运算。下表展示了8种运算在CORDIC算法中实现的条件。
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首先,我们先从旋转模式下的圆坐标系讲起,这也是CORDIC方法最初的用途。

1、CORDIC的几何原理介绍

假设在xy坐标系中有一个点P1(x1,y1),将P1点绕原点旋转θ角后得到点P2(x2,y2)。
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于是可以得到P1和P2的关系。
x2 = x1cosθ – y1sinθ = cosθ(x1 – y1tanθ)
y2 = y1cosθ + x1sinθ = cosθ(y1 +x1tanθ)
以上就是CORDIC的几何原理部分,而我们该如何深入理解这个几何原理的真正含义呢?
从原理中,我们可以知道,当已知一个点P1的坐标,并已知该点P1旋转的角度θ,则可以根据上述公式求得目标点P2的坐标。然后,麻烦来了,我们需要用FPGA去执行上述运算操作,而FPGA的Verilog语言根本不支持三角函数运算。因此,我们需要对上述式子进行简化操作,将复杂的运算操作转换为一种单一的“迭代位移”算法。那么,接下来我们介绍优化算法部分。

2、CORDIC的优化算法介绍

我们先介绍算法的优化原理:将旋转角θ细化成若干分固定大小的角度θi,并且规定θi满足tanθi = 2-i,因此∑θi的值在[-99.7°,99.7°]范围内,如果旋转角θ超出此范围,则运用简单的三角运算操作即可(加减π)。
然后我们需要修改几何原理部分的假设,假设在xy坐标系中有一个点P0(x0,y0),将P0点绕原点旋转θ角后得到点Pn(xn,yn)。
于是可以得到P0和Pn的关系。
xn = x0cosθ – y0sinθ = cosθ(x0 – y0tanθ)
yn = y0cosθ + x0sinθ = cosθ(y0 + x0tanθ)
然后,我们将旋转角θ细化成θi,由于每次的旋转角度θi是固定不变的(因为满足tanθi = 2-i),如果一直朝着一个方向旋转则∑θi一定会超过θ(如果θ在[-99.7°,99.7°]范围内)。因此我们需要对θi设定一个方向值di。如果旋转角已经大于θ,则di为-1,表示下次旋转为顺时针,即向θ靠近;如果旋转角已经小于θ,则di为1,表示下次旋转为逆时针,即也向θ靠近。然后我们可以得到每次旋转的角度值diθi,设角度剩余值为zi+1,则有zi+1 = zi - diθi,其中z0为θ。如此随着i的增大,角度剩余值zi+1将会趋近于0,此时运算结束。(注:可以发现,di与zi的符号位相同)
第一次旋转θ0,d0为旋转方向:
x1 = cosθ0(x0 – d0y0tanθ0)
y1 = cosθ0(y0 + d0x0tanθ0)
第二次旋转θ1,d1为旋转方向:
x2 = cosθ1(x1 – d1y1tanθ1) = cosθ1cosθ0(x0 – d0y0tanθ0 – d1y0tanθ1 – d1d0 x0tanθ1 tanθ0)
y2 = cosθ1(y1 + d1x1tanθ1) = cosθ1cosθ0(y0 + d0x0tanθ0 + d1x0tanθ1 – d1d0y0tanθ1 tanθ0)
大家可能已经发现了,在我们旋转的过程中,式子里一直会有tanθi和cosθi,而每次都可以提取出cosθi。虽然我们的FPGA无法计算tanθi,但我们知道tanθi = 2-i,因此可以执行和tanθi效果相同的移位操作2-i来取代tanθi。而对于cosθi,我们可以事先全部提取出来,然后等待迭代结束之后(角度剩余值zi+1趋近于0,一般当系统设置最大迭代次数为16时zi+1已经很小了),然后计算出∏cosθi的值即可。
总结一下:
迭代公式有三:
xi+1 = xi – d iy i2-i,提取了cosθi,2-i等效替换了tanθi之后
yi+1 = yi + d ix i2-i,提取了cosθi,2-i等效替换了tanθi之后
zi+1 = zi - diθi
其中i从0开始迭代,假设当i = n-1时,zn趋近于0,迭代结束。然后对结果乘上∏cosθi(i从0至n-1),于是得到点Pn(xn∏cosθi,yn∏cosθi),此时的点Pn就近似等于之前假设中的点Pn(xn,yn)了,所以此时的点Pn同样满足之前假设得到的公式:
xn∏cosθi = x0cosθ – y0sinθ
yn∏cosθi = y0cosθ + x0sinθ
由于i从0至n-1,所以上式可以转化成下式:
xn = 1/∏cosθi(x0cosθ – y0sinθ),(其中i从0至n-1)
yn = 1/∏cosθi(y0cosθ + x0sinθ),(其中i从0至n-1)
注意:上式中的xn,yn是经过迭代后的结果,而不是之前假设中的点Pn(xn,yn)。了解这点是十分重要的。
根据高中学的三角函数关系,可以知道cosθi = 1/[(1+tan2θi)^0.5] = 1/[(1+2-2i)^0.5],而1/[(1+2-2i)^0.5]的极值为1,因此我们可以得出一个结论:当i的次数很大时,∏cosθi的值趋于一个常数。
关于如何计算∏cosθi的代码如下所示:

close all;clear;clc;% 初始化die = 16;%迭代次数jiao = zeros(die,1);%每次旋转的角度cos_value = zeros(die,1);%每次旋转的角度的余弦值K = zeros(die,1);%余弦值的N元乘积K_1 = zeros(die,1);%余弦值的N元乘积的倒数for i = 1 : die    a = 2^(-(i-1));    jiao(i) = atan(a);    cos_value(i) = cos(jiao(i));    if( i == 1)        K(i) = cos_value(i);        K_1(i) = 1/K(i);    else        K(i) = K(i-1)*cos_value(i);        K_1(i) = 1/K(i);    endendjiao = vpa(rad2deg(jiao)*256,10) cos_value = vpa(cos_value,10)K = vpa(K,10)K_1 = vpa(K_1,10)

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从上表也可以看出,当迭代次数为16,i=15时,cosθi的值已经非常趋近于1了,∏cosθi的值则约等于0.607253,1/∏cosθi为1.64676。所以当迭代次数等于16时,通过迭代得到的点Pn坐标已经非常接近之前假设中的点Pn。所以,当迭代次数等于16时,这个式子是成立的。
xn = 1/∏cosθi(x0cosθ – y0sinθ),(其中i从0至n-1)
yn = 1/∏cosθi(y0cosθ + x0sinθ),(其中i从0至n-1)
此时,已知条件有三个x0、y0和θ。通过16次迭代,我们可以得到xn和yn。而式中的∏cosθi是个随i变化的值,我们可以预先将其值存入系统中。
然后,我们人为设置x0 = ∏cosθi,y0 = 0,则根据等式,xn = cosθ,yn = sinθ。其中1/∏cosθi的值我们也同样预先存入系统中。如此,我们就实现了正弦和余弦操作了。

二、CORDIC的具体操作流程介绍

1、CORDIC的旋转模式

由于算法较复杂,一休哥再总结一些具体的操作流程。
1、 设置迭代次数为16,则x0 = 0.607253,y0 = 0,并输入待计算的角度θ,θ在[-99.7°,99.7°]范围内。
2、 根据三个迭代公式进行迭代,i从0至15:
xi+1 = xi – d iy i2-i
yi+1 = yi + d ix i2-i
zi+1 = zi - diθi
注:z0 = θ,di与zi同符号。
3、 经过16次迭代计算后,得到的x16 和y16分别为cosθ和sinθ。
至此,关于CORDIC的三角函数cosθ和sinθ的计算原理讲解结束。
关于CORDIC算法计算三角函数cosθ和sinθ的MATLAB代码如下所示:

close all;clear;clc;% 初始化die = 16;%迭代次数x = zeros(die+1,1);y = zeros(die+1,1);z = zeros(die+1,1);x(1) = 0.607253;%初始设置z(1) = pi/4;%待求角度θ%迭代操作for i = 1:die    if z(i) >= 0        d = 1;    else        d = -1;    end    x(i+1) = x(i) - d*y(i)*(2^(-(i-1)));    y(i+1) = y(i) + d*x(i)*(2^(-(i-1)));    z(i+1) = z(i) - d*atan(2^(-(i-1)));endcosa = vpa(x(17),10)sina = vpa(y(17),10)c = vpa(z(17),10)

2、CORDIC的向量模式

讲完了旋转模式后,我们接着讲讲向量模式下的圆坐标系。
在这里,我们需从头来过了,假设在xy坐标系中有一个点P0(x0,y0),将P0点绕原点旋转θ角后得到点Pn(xn,0),θ在[-99.7°,99.7°]范围内。
于是可以得到P0和Pn的关系:
xn = x0cosθ – y0sinθ = cosθ(x0 – y0tanθ)
yn = y0cosθ + x0sinθ = cosθ(y0 + x0tanθ) = 0
如何得到Pn(xn,yn)一直是我们的目标。而此时,我们还是列出那几个等式:
根据三个迭代公式进行迭代,i从0至15:
xi+1 = xi – d iy i2-i
yi+1 = yi + d ix i2-i
zi+1 = zi - diθi
不过此时我们尝试改变初始条件:
设置迭代次数为16,则x0 = x,y0 = y,z0 = 0,di与yi的符号相反。表示,经过n次旋转,使Pn靠近x轴。
因此,当迭代结束之后,Pn将近似接近x轴,此时yn = 0,可知旋转了θ,即zn = θ = arctan(y/x)。

xn = 1/∏cosθi(x0cosθ – y0sinθ),(其中i从0至n-1)
yn = 1/∏cosθi(y0cosθ + x0sinθ),(其中i从0至n-1)
因此,可得ycosθ + xsinθ = 0,
xn = 1/∏cosθi(xcosθ – ysinθ) = 1/∏cosθi{ [ (xcosθ – ysinθ)^2]^(1/2)}
= 1/∏cosθi{ [ x2cos2θ + y2sin2θ – 2xysinθcosθ]^(1/2)}
= 1/∏cosθi{ [ x2cos2θ + y2sin2θ + y2 cos2θ + x2sin2θ]^(1/2)}
= 1/∏cosθi{ [ x2 + y2]^(1/2)}
由上可以知道,我们通过迭代,就算出了反正切函数zn = θ = arctan(y/x),以及向量OP0(x,y)的长度 d = xn * ∏cosθi。
关于反正切函数,一休哥要多啰嗦几句了,由于θ在[-99.7°,99.7°]范围内,所以我们输入向量OP0(x,y)时,需要保证其在第一、四象限。
关于CORDIC算法计算反三角函数arctanθ的MATLAB代码如下所示:

close all;clear;clc;% 初始化die = 16;%迭代次数x = zeros(die+1,1);y = zeros(die+1,1);z = zeros(die+1,1);x(1) = 100;%初始设置y(1) = 200;%初始设置k = 0.607253;%初始设置%迭代操作for i = 1:die    if y(i) >= 0        d = -1;    else        d = 1;    end    x(i+1) = x(i) - d*y(i)*(2^(-(i-1)));    y(i+1) = y(i) + d*x(i)*(2^(-(i-1)));    z(i+1) = z(i) - d*atan(2^(-(i-1)));endd = vpa(x(17)*k,10)a = vpa(y(17),10)c = vpa(rad2deg(z(17)),10)

三、CORDIC的旋转模式——Verilog仿真

一休哥在编写CORDIC算法时,采用了16级流水线,仿真效果十分明显。以下是顶层文件的代码。
为了避免浮点运算,为了满足精度要求,一休哥对每个变量都放大了2^16倍,并且引入了有符号型reg和算术右移。
关于Verilog代码的编写,一休哥已经不想多说了,因为代码是完全符合我之前所讲的CORDIC的原理与MATLAB仿真代码。相信大家在看完本文的前两个部分之后,对Verilog的理解应该不是难事儿。

module Cordic_Test(    CLK_50M,RST_N,    Phase,    Sin,Cos,Error);input                       CLK_50M;input                       RST_N;input       [31:0]          Phase;output      [31:0]          Sin;output      [31:0]          Cos;output      [31:0]          Error;`define rot0  32'd2949120       //45度*2^16`define rot1  32'd1740992       //26.5651度*2^16`define rot2  32'd919872        //14.0362度*2^16`define rot3  32'd466944        //7.1250度*2^16`define rot4  32'd234368        //3.5763度*2^16`define rot5  32'd117312        //1.7899度*2^16`define rot6  32'd58688         //0.8952度*2^16`define rot7  32'd29312         //0.4476度*2^16`define rot8  32'd14656         //0.2238度*2^16`define rot9  32'd7360          //0.1119度*2^16`define rot10 32'd3648          //0.0560度*2^16`define rot11 32'd1856          //0.0280度*2^16`define rot12 32'd896           //0.0140度*2^16`define rot13 32'd448           //0.0070度*2^16`define rot14 32'd256           //0.0035度*2^16`define rot15 32'd128           //0.0018度*2^16parameter Pipeline = 16;parameter K = 32'h09b74;    //K=0.607253*2^16,32'h09b74,reg signed  [31:0]      Sin;reg signed  [31:0]      Cos;reg signed  [31:0]      Error;reg signed  [31:0]      x0=0,y0=0,z0=0;reg signed  [31:0]      x1=0,y1=0,z1=0;reg signed  [31:0]      x2=0,y2=0,z2=0;reg signed  [31:0]      x3=0,y3=0,z3=0;reg signed  [31:0]      x4=0,y4=0,z4=0;reg signed  [31:0]      x5=0,y5=0,z5=0;reg signed  [31:0]      x6=0,y6=0,z6=0;reg signed  [31:0]      x7=0,y7=0,z7=0;reg signed  [31:0]      x8=0,y8=0,z8=0;reg signed  [31:0]      x9=0,y9=0,z9=0;reg signed  [31:0]      x10=0,y10=0,z10=0;reg signed  [31:0]      x11=0,y11=0,z11=0;reg signed  [31:0]      x12=0,y12=0,z12=0;reg signed  [31:0]      x13=0,y13=0,z13=0;reg signed  [31:0]      x14=0,y14=0,z14=0;reg signed  [31:0]      x15=0,y15=0,z15=0;reg signed  [31:0]      x16=0,y16=0,z16=0;reg         [ 1:0]      Quadrant [Pipeline:0];always @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin    if(!RST_N)    begin        x0 <= 1'b0;                                 y0 <= 1'b0;        z0 <= 1'b0;    end    else    begin        x0 <= K;        y0 <= 32'd0;        z0 <= Phase[15:0] << 16;    endendalways @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin    if(!RST_N)    begin        x1 <= 1'b0;                                 y1 <= 1'b0;        z1 <= 1'b0;    end    else if(z0[31])    begin      x1 <= x0 + y0;      y1 <= y0 - x0;      z1 <= z0 + `rot0;    end    else    begin      x1 <= x0 - y0;      y1 <= y0 + x0;      z1 <= z0 - `rot0;    endendalways @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin    if(!RST_N)    begin        x2 <= 1'b0;                                 y2 <= 1'b0;        z2 <= 1'b0;    end    else if(z1[31])   begin        x2 <= x1 + (y1 >>> 1);        y2 <= y1 - (x1 >>> 1);        z2 <= z1 + `rot1;   end   else   begin       x2 <= x1 - (y1 >>> 1);       y2 <= y1 + (x1 >>> 1);       z2 <= z1 - `rot1;   endendalways @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin    if(!RST_N)    begin        x3 <= 1'b0;                                 y3 <= 1'b0;        z3 <= 1'b0;    end    else if(z2[31])   begin       x3 <= x2 + (y2 >>> 2);       y3 <= y2 - (x2 >>> 2);       z3 <= z2 + `rot2;   end   else   begin       x3 <= x2 - (y2 >>> 2);       y3 <= y2 + (x2 >>> 2);       z3 <= z2 - `rot2;   endendalways @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin    if(!RST_N)    begin        x4 <= 1'b0;                                 y4 <= 1'b0;        z4 <= 1'b0;    end    else if(z3[31])   begin       x4 <= x3 + (y3 >>> 3);       y4 <= y3 - (x3 >>> 3);       z4 <= z3 + `rot3;   end   else   begin       x4 <= x3 - (y3 >>> 3);       y4 <= y3 + (x3 >>> 3);       z4 <= z3 - `rot3;   endendalways @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin    if(!RST_N)    begin        x5 <= 1'b0;                                 y5 <= 1'b0;        z5 <= 1'b0;    end    else if(z4[31])   begin       x5 <= x4 + (y4 >>> 4);       y5 <= y4 - (x4 >>> 4);       z5 <= z4 + `rot4;   end   else   begin       x5 <= x4 - (y4 >>> 4);       y5 <= y4 + (x4 >>> 4);       z5 <= z4 - `rot4;   endendalways @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin    if(!RST_N)    begin        x6 <= 1'b0;                                 y6 <= 1'b0;        z6 <= 1'b0;    end    else if(z5[31])   begin       x6 <= x5 + (y5 >>> 5);       y6 <= y5 - (x5 >>> 5);       z6 <= z5 + `rot5;   end   else   begin       x6 <= x5 - (y5 >>> 5);       y6 <= y5 + (x5 >>> 5);       z6 <= z5 - `rot5;   endendalways @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin    if(!RST_N)    begin        x7 <= 1'b0;                                 y7 <= 1'b0;        z7 <= 1'b0;    end    else if(z6[31])   begin       x7 <= x6 + (y6 >>> 6);       y7 <= y6 - (x6 >>> 6);       z7 <= z6 + `rot6;   end   else   begin       x7 <= x6 - (y6 >>> 6);       y7 <= y6 + (x6 >>> 6);       z7 <= z6 - `rot6;   endendalways @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin    if(!RST_N)    begin        x8 <= 1'b0;                                 y8 <= 1'b0;        z8 <= 1'b0;    end    else if(z7[31])   begin       x8 <= x7 + (y7 >>> 7);       y8 <= y7 - (x7 >>> 7);       z8 <= z7 + `rot7;   end   else   begin       x8 <= x7 - (y7 >>> 7);       y8 <= y7 + (x7 >>> 7);       z8 <= z7 - `rot7;   endendalways @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin    if(!RST_N)    begin        x9 <= 1'b0;                                 y9 <= 1'b0;        z9 <= 1'b0;    end    else if(z8[31])   begin       x9 <= x8 + (y8 >>> 8);       y9 <= y8 - (x8 >>> 8);       z9 <= z8 + `rot8;   end   else   begin       x9 <= x8 - (y8 >>> 8);       y9 <= y8 + (x8 >>> 8);       z9 <= z8 - `rot8;   endendalways @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin    if(!RST_N)    begin        x10 <= 1'b0;                                y10 <= 1'b0;        z10 <= 1'b0;    end    else if(z9[31])   begin       x10 <= x9 + (y9 >>> 9);       y10 <= y9 - (x9 >>> 9);       z10 <= z9 + `rot9;   end   else   begin       x10 <= x9 - (y9 >>> 9);       y10 <= y9 + (x9 >>> 9);       z10 <= z9 - `rot9;   endendalways @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin    if(!RST_N)    begin        x11 <= 1'b0;                                y11 <= 1'b0;        z11 <= 1'b0;    end    else if(z10[31])   begin       x11 <= x10 + (y10 >>> 10);       y11 <= y10 - (x10 >>> 10);       z11 <= z10 + `rot10;   end   else   begin       x11 <= x10 - (y10 >>> 10);       y11 <= y10 + (x10 >>> 10);       z11 <= z10 - `rot10;   endendalways @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin    if(!RST_N)    begin        x12 <= 1'b0;                                y12 <= 1'b0;        z12 <= 1'b0;    end    else if(z11[31])   begin       x12 <= x11 + (y11 >>> 11);       y12 <= y11 - (x11 >>> 11);       z12 <= z11 + `rot11;   end   else   begin       x12 <= x11 - (y11 >>> 11);       y12 <= y11 + (x11 >>> 11);       z12 <= z11 - `rot11;   endendalways @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin    if(!RST_N)    begin        x13 <= 1'b0;                                y13 <= 1'b0;        z13 <= 1'b0;    end    else if(z12[31])   begin       x13 <= x12 + (y12 >>> 12);       y13 <= y12 - (x12 >>> 12);       z13 <= z12 + `rot12;   end   else   begin       x13 <= x12 - (y12 >>> 12);       y13 <= y12 + (x12 >>> 12);       z13 <= z12 - `rot12;   endendalways @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin    if(!RST_N)    begin        x14 <= 1'b0;                                y14 <= 1'b0;        z14 <= 1'b0;    end    else if(z13[31])   begin       x14 <= x13 + (y13 >>> 13);       y14 <= y13 - (x13 >>> 13);       z14 <= z13 + `rot13;   end   else   begin       x14 <= x13 - (y13 >>> 13);       y14 <= y13 + (x13 >>> 13);       z14 <= z13 - `rot13;   endendalways @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin    if(!RST_N)    begin        x15 <= 1'b0;                                y15 <= 1'b0;        z15 <= 1'b0;    end    else if(z14[31])   begin       x15 <= x14 + (y14 >>> 14);       y15 <= y14 - (x14 >>> 14);       z15 <= z14 + `rot14;   end   else   begin       x15 <= x14 - (y14 >>> 14);       y15 <= y14 + (x14 >>> 14);       z15 <= z14 - `rot14;   endendalways @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin    if(!RST_N)    begin        x16 <= 1'b0;                                y16 <= 1'b0;        z16 <= 1'b0;    end    else if(z15[31])   begin       x16 <= x15 + (y15 >>> 15);       y16 <= y15 - (x15 >>> 15);       z16 <= z15 + `rot15;   end   else   begin       x16 <= x15 - (y15 >>> 15);       y16 <= y15 + (x15 >>> 15);       z16 <= z15 - `rot15;   endendalways @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin    if(!RST_N)    begin        Quadrant[0] <= 1'b0;        Quadrant[1] <= 1'b0;        Quadrant[2] <= 1'b0;        Quadrant[3] <= 1'b0;        Quadrant[4] <= 1'b0;        Quadrant[5] <= 1'b0;        Quadrant[6] <= 1'b0;        Quadrant[7] <= 1'b0;        Quadrant[8] <= 1'b0;        Quadrant[9] <= 1'b0;        Quadrant[10] <= 1'b0;        Quadrant[11] <= 1'b0;        Quadrant[12] <= 1'b0;        Quadrant[13] <= 1'b0;        Quadrant[14] <= 1'b0;        Quadrant[15] <= 1'b0;        Quadrant[16] <= 1'b0;    end    else    begin        Quadrant[0] <= Phase[17:16];        Quadrant[1] <= Quadrant[0];        Quadrant[2] <= Quadrant[1];        Quadrant[3] <= Quadrant[2];        Quadrant[4] <= Quadrant[3];        Quadrant[5] <= Quadrant[4];        Quadrant[6] <= Quadrant[5];        Quadrant[7] <= Quadrant[6];        Quadrant[8] <= Quadrant[7];        Quadrant[9] <= Quadrant[8];        Quadrant[10] <= Quadrant[9];        Quadrant[11] <= Quadrant[10];        Quadrant[12] <= Quadrant[11];        Quadrant[13] <= Quadrant[12];        Quadrant[14] <= Quadrant[13];        Quadrant[15] <= Quadrant[14];        Quadrant[16] <= Quadrant[15];    endendalways @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin    if(!RST_N)    begin        Cos <= 1'b0;        Sin <= 1'b0;        Error <= 1'b0;    end    else    begin        Error <= z16;        case(Quadrant[16])            2'b00: //if the Phase is in first Quadrant,the Sin(X)=Sin(A),Cos(X)=Cos(A)                begin                    Cos <= x16;                    Sin <= y16;                end            2'b01: //if the Phase is in second Quadrant,the Sin(X)=Sin(A+90)=CosA,Cos(X)=Cos(A+90)=-SinA                begin                    Cos <= ~(y16) + 1'b1;//-Sin                    Sin <= x16;//Cos                end            2'b10: //if the Phase is in third Quadrant,the Sin(X)=Sin(A+180)=-SinA,Cos(X)=Cos(A+180)=-CosA                begin                    Cos <= ~(x16) + 1'b1;//-Cos                    Sin <= ~(y16) + 1'b1;//-Sin                end            2'b11: //if the Phase is in forth Quadrant,the Sin(X)=Sin(A+270)=-CosA,Cos(X)=Cos(A+270)=SinA                begin                    Cos <= y16;//Sin                    Sin <= ~(x16) + 1'b1;//-Cos                end        endcase    endendendmodule
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