HDU 5863 cjj's string game(矩阵优化DP)

题意：让你用k种字母构造出两个长度为n的a,b串，问满足a,b最长连续对应子串相同的长度不恰为m的方案数。

 n(1<=n<=1000000000), m(1<=m<=10), k(1<=k<=26). 

思路：

dp[i][j]：表示长度为i的串，长度j后缀连续对应相等。

转移方程：

dp[i][0]=(dp[i-1][0]+…+dp[i-1][m]) * k * (k-1) 
dp[i][j]=dp[i-1][j-1] * k，j=1,2,…,m 

这样就可以构造矩阵了：

令sum=dp[n][0]+dp[n][1]…+dp[n][m]，那么sum的意义可以解释为最长匹配<=m的方案，而我们要求的是最长匹配

==m，那么去掉不合法的即可，不合法方案即为最长匹配<=m-1的方案,这就是将原来dp转移转移过程中的m变成m-1

后的子问题，故做两遍矩阵快速幂，将sum值做差即为答案 （借鉴：点击打开）

代码：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const int maxn = 15;const int mod = 1e9+7;struct node{    ll s[maxn][maxn];    int len;};node mul(node a, node b){    node ans;    ans.len = a.len;    memset(ans.s, 0, sizeof(ans.s));    for(int i = 1; i <= ans.len; i++)        for(int j = 1; j <= ans.len; j++)            for(int k = 1; k <= ans.len; k++)                ans.s[i][j] = (ans.s[i][j]+a.s[i][k]*b.s[k][j])%mod;    return ans;}node mt_pow(node a, int q){    node ans;    ans.len = a.len;    for(int i = 1; i <= a.len; i++)        for(int j = 1; j <= a.len; j++)            ans.s[i][j] = (i==j);    while(q)    {        if(q%2) ans = mul(ans, a);        a = mul(a, a);        q /= 2;    }    return ans;}ll n;int k;ll solve(int m){    node base;    base.len = m+1;    memset(base.s, 0, sizeof(base.s));    for(int i = 1; i <= m+1; i++) base.s[1][i] = k*(k-1);    for(int i = 2; i <= m+1; i++) base.s[i][i-1] = k;    node ans = mt_pow(base, n);    ll res = 0;    for(int i = 1; i <= m+1; i++)        res = (res+ans.s[i][1])%mod;    return res;}int main(void){    int _, m;    cin >> _;    while(_--)    {        scanf("%lld%d%d", &n, &m, &k);        printf("%lld\n", (solve(m)-solve(m-1)+mod)%mod);    }    return 0;}