乘法逆元

来源:互联网 发布:lofter(乐乎) 编辑:程序博客网 时间:2024/03/02 15:58

hdu5976我的博客==

在一些题目中题目可能会要求一个乘积对MOD一个大数取余输出,给个例子hdu5976

在这道题目中我们用到了前缀乘预处理,降低时间复杂度,但在预处理的时候,会发现可能乘积会爆long long,那么怎么办

 这时我们这么干 f[i]=(f[i-1]*i)%MOD;

而且在这道题中,我们最后要f[i]/i*k再取余,除法取余是不好取的,乘法的话就是(a*b)%MOD==a%MOD*b%MOD;

如果用乘法逆元就可以把除法转换成乘法,除一个数就是乘以它的逆元,但要注意我们这里逆元是相对于MOD的

定义:
满足b*k≡1 (mod MOD)   即b*k%MOD==1%MOD==1的k值就是b关于MOD的乘法逆元。

证:

根据b*k≡1 (mod p)有b*k=p*x+1。
k=(p*x+1)/b。
把k代入(a*k) mod p,得:
(a*(p*x+1)/b) mod p
=((a*p*x)/b+a/b) mod p
=[((a*p*x)/b) mod p +(a/b)] mod p
=[(p*(a*x)/b) mod p +(a/b)] mod p
//p*[(a*x)/b] mod p=0

这里的p就是MOD,直接把别人的证明搬来了==

(a/b)%MOD==(a*k)%MOD

可以把k看做是b在MOD环境下的倒数

求逆元的公式

inv[i]=(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD

递推求逆元

inv[1]=1;//1的逆元显然是1

for(i=2;i<n;i++)

inv[i]=(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD