[BZOJ3144][HNOI2013]切糕-网络流

切糕

Description

Input

第一行是三个正整数P,Q,R，表示切糕的长P、 宽Q、高R。第二行有一个非负整数D，表示光滑性要求。接下来是R个P行Q列的矩阵，第z个 矩阵的第x行第y列是v(x,y,z) (1≤x≤P, 1≤y≤Q, 1≤z≤R)。
100%的数据满足P,Q,R≤40，0≤D≤R，且给出的所有的不和谐值不超过1000。

Output

仅包含一个整数，表示在合法基础上最小的总不和谐值。

Sample Input

2 2 2
1
6 1
6 1
2 6
2 6

Sample Output

6

HINT

最佳切面的f为f(1,1)=f(2,1)=2,f(1,2)=f(2,2)=1

---

话说在做这道题的时候， 偶然路过的老师看到标题后，发出了奇怪的笑声……

---

思路:
哇，为什么全世界除了咱都知道这个“经典模型”啊。
描述一下这个奇妙的建模好了。

考虑使用最小割。

那么首先无视掉光滑性需求，可以得到这样的一张图:

这里咱按深度分层，如上图所示，上图从左到右分层，且每一层有p*q=2个节点。
边的流量定为不和谐度，比如从(x,y,z)处向(x,y,z+1)处连流量为v(x,y,z)的边。
于是，令割掉一条边为选中它的不和谐度，咱要求的就是此图的最小割。

那么现在考虑如何使不和谐度被考虑到:
把图变成这样即可:

考虑割掉那条奇妙的红色边，可以发现在这之后割掉那条原谅色绿色的边并没有什么用。
此时，只有割那个原谅色的点前面的边才会有效，这就相当于限制了高度。
考虑再从反方向+d处连回来一条边，连向红色边的另一头。
这么做相当于彻底锁死高度，从+d处往上的边割掉后将会和上图中的-d点往下的边(原谅色边)一样，变得并无作用。
然后就直接跑网络流就好了~

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<algorithm>using namespace std;inline int read(){    int x=0;char ch=getchar();    while(ch<'0' || '9'<ch)ch=getchar();    while('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+(ch^48),ch=getchar();    return x;}const int K=49;const int N=1e5+9;const int M=1e6+9;const int Inf=1e9;int p,q,r,d;int s,t,qu[N],dis[N];int to[M],nxt[M],cap[M],beg[N],tot=1;inline int po(int x,int y,int z){    return (x-1)*q+y+(z-1)*p*q;}inline void adde(int u,int v,int c){    to[++tot]=v;    nxt[tot]=beg[u];    cap[tot]=c;    beg[u]=tot;}inline void add(int u,int v,int c){    adde(u,v,c);adde(v,u,0);}inline bool bfs(){    memset(dis,0,sizeof(dis));    int ll=0,rr=1;    qu[1]=s;    dis[s]=1;    while(ll!=rr)    {        int u=qu[++ll];        for(int i=beg[u],v;i;i=nxt[i])            if(!dis[v=to[i]] && cap[i])            {                dis[v]=dis[u]+1;                qu[++rr]=v;            }    }    return dis[t];}inline int dfs(int u,int mflow){    if(u==t || !mflow)        return mflow;    int cost=0;    for(int i=beg[u],v,rf;i;i=nxt[i])        if(dis[v=to[i]]==dis[u]+1 && cap[i])        {            rf=dfs(v,min(cap[i],mflow-cost));            cap[i]-=rf;            cap[i^1]+=rf;            cost+=rf;            if(mflow==cost)break;        }    if(cost==0)        dis[u]=-1;    return cost;}inline int dinic(){    int ret=0;    while(bfs())        ret+=dfs(s,Inf);    return ret;}int main(){    p=read();q=read();    r=read();d=read();    s=p*q*r+1,t=s+1;    for(int k=1;k<=r;k++)        for(int i=1;i<=p;i++)            for(int j=1,f;j<=q;j++)            {                f=read();                if(k!=r)                    add(po(i,j,k),po(i,j,k+1),f);                else                    add(po(i,j,k),t,f);                if(i!=1)                    add(po(i,j,k),po(i-1,j,k-d),Inf);                if(i!=p)                    add(po(i,j,k),po(i+1,j,k-d),Inf);                if(j!=1)                    add(po(i,j,k),po(i,j-1,k-d),Inf);                if(j!=q)                    add(po(i,j,k),po(i,j+1,k-d),Inf);            }    for(int i=1;i<=p;i++)        for(int j=1;j<=q;j++)            add(s,po(i,j,1),Inf);    printf("%d\n",dinic());    return 0;}