岭回归 & lasso 回归

        回归 就是 对数据进行拟合，我们常说的 线性回归、高斯回归、SVR、Softmax 都是属于 回归。

        最小二乘大家再熟悉不过了，作为入门级的线性回归，可能会遇到的一些问题：

（1）参数稳定性和精度问题

        如果 观测数据和参数 之间有比较明显的线性关系，最小二乘回归会有很小的偏倚；

        如果观测数据个数N远大于参数个数P时，最小二乘回归能得到较小的方差，如果N和P数量接近时，噪声会导致过拟合的产生；

（2）模型解释能力问题

        在一个多元线性回归模型里，很多参数可能 和 观测数据无关；

        或者也有可能 多个参数之间明显相关（有些参数是多余的）。

        这些情况会增加模型的复杂程度，削弱模型的解释能力，通常需要进行 参数选择（特征选择）。

针对这些问题通常有三种解决方案：

（1）子集测试方法

        这个最容易理解，选取 部分参数（子集）进行建模，利用判别准则 （如 AIC，BIC等）决定哪个模型最优。

        当数据覆盖有偏差时能得到很好的效果，子集法 主要 包括逐步回归 和 最优子集法等。

（2）收缩方法（shrinkage）

        又称为正则化（regularization）方法，旨在使某些系数的估计为0。主要用来解决 多重共线性问题（参数相关）。

        收缩方法主要包括 岭回归（ridge regression）和 LASSO回归。

（3）降维

        把P个参数投影到m维空间（m<P），利用投影得到的不相关的组合建立线性模型。

        主要有：主成分回归（PCR）和 偏最小二乘回归（PLS）方法。

        本节主要介绍两种收缩方法：岭回归 和 LASSO回归，通过对 最小二乘 加入惩罚约束，使某些系数进行压缩，甚至压缩为0，从而实现避免过拟合和变量选择。

        从公式来看，与最小二乘 的区别就在于在 误差平方和的基础上添加了 约束项。

        岭回归 是采用的正则化的方法进行特征的选择，使用的是 L2-norm，而LASSO 采用的则是 L1-norm，分别看一下两个公式：

        

       在某些情况下，最小二乘回归得到的系数不稳定，方差很大，针对这个问题，提出了 岭回归（ridge） 的概念。

       岭回归 实质上是一种改良的最小二乘估计法，它损失了无偏性，来换取高的数值稳定性和精度。从本质上讲，岭回归 是带二范数惩罚的最小二乘回归。岭回归 专用于共线性数据分析的有偏估计回归方法，相对于最小二乘法，岭回归是更符合实际、更可靠的回归方法，其对病态数据的拟合要强于 最小二乘法（OLS）。

       岭回归 虽然 减少了模型的复杂度，并没有真正解决参数选择的问题。

       也就是说对于P个预设参数，惩罚约束项 可以收缩这些系数接近0，但并非恰好是0（除非lambda为无穷大）。这个缺点对于模型精度影响不大，但给模型的解释造成了困难。LASSO回归 正是用于克服这个问题 提出。

       LASSO回归（least Absolute Shrinkage and Selection Operator）也称为 套索回归，和 岭回归不同的是，Lasso回归在惩罚方程中用的是绝对值，而不是平方。这就决定了LASSO回归 不像岭回归 那样把系数缩小，而是筛选掉一些系数，使得惩罚后的值可能会变成0。