欧拉图 欧拉回路 欧拉通路

昨天做题用到了欧拉图，本来刚看到这个名词我是不知道什么是欧拉图的，wiki了一下发现原来欧拉图就是小学奥数做腻了的"一笔画"问题...

图论起源于18世纪，1736年瑞士数学家欧拉(Eular)发表了图论的第一篇论文:哥尼斯堡七桥问题"。

在当时的哥尼斯堡城有一条横贯全市的普雷格尔河，河中的两个岛与两岸用七座桥联结起来，见图(1)。当时那里的居民热衷于一个难题：游人怎样不重复地走遍七桥，最后回到出发点。为了解决这个问题，欧拉用ABCD四个字母代替陆地，作为4个顶点，将联结两块陆地的桥用相应的线段表示，如图(2)，于是哥尼斯堡七桥问题就变成了图(2)中，是否存在经过每条边一次且仅一次，经过所有的顶点的回路问题了。欧拉在论文中指出，这样的回路是不存在的。

定义：

欧拉通路 (欧拉迹):通过图中每条边且只通过一次，并且经过每一顶点的通路。

欧拉回路 (欧拉闭迹):通过图中每条边且只通过一次，并且经过每一顶点的回路。

欧拉图:存在欧拉回路的图。

简单说欧拉通路就是首尾不相接，而欧拉回路要求首尾相接。

无向图是否具有欧拉通路或回路的判定:

欧拉通路:图连通；图中只有2个度为奇数的节点(就是欧拉通路的2个端点)

欧拉回路:图连通；图中所有节点度均为偶数

有向图是否具有欧拉通路或回路的判定:

欧拉通路:图连通；除2个端点外其余节点入度=出度；1个端点入度比出度大1；一个端点入度比出度小1

欧拉回路:图连通；所有节点入度=出度