我的OI心得（一）之 图论（零）

图 概述

图么，就是有些点，还有些边。

点么，就是点。这里没有坐标系，点不是高中数学意义上的点。一般地，我们会给点一个编号（一般都是从1开始），来帮助我们区别每个点。点也可以有权值（但不多见），就是说他自己附带一点信息什么的。

边，就是点和点间某种神奇的关系。如果从点1拉出来一条带箭头的线指向点2，就说1和2间有条有向边。也有无向边，其作用效果相当于一来一回两条有向边。边一般来说都有个权值，也可以没有。

点的总和和边的总和构成一个图。

 

一般来说图在计算机中有三种存储方式。三种是什么书上有。

一，邻接矩阵。对于一个点数小于5000的图来说，竞赛环境下是能用邻接矩阵存的（一般竞赛环境给64M内存，而一个integer是两个字节，自己算算）。

二，边集数组，我觉得好难听。就是三条一维数组，

l,r,w:array[1..1000000]of integer;

就是说对于一个有向边从l[i]连到r[i]，权值为w[i]。这里的i仅表示第几条边，无所谓的。

三，邻接表。邻接表不一定要链表。数组也可以。比如这样：

w,num[1..5000,1..5000]of integer;count[1..5000]of integer;

其中1<=j<=count[i]，count[i]是i的出度。num[i,j]存的是和i相连的第j条边的那一头的那个点的编号。W照例存权值。比较适合遍历。

对于一个点i，很多情况下我们要挨个访问他指出去的点，就是遍历。如果总点数是n，那么用邻接矩阵存的图的i的遍历需要我们把n个点全部扫一遍。而邻接表只要扫count[i]个。在稀疏图里，邻接表在时间上要占优很多。你想想，要把所有的点的指出取的点遍历一遍，耗时上邻接矩阵是O(n²)的，而邻接表是O(e)的。O(e)介于O(n)和O(n²)之间。

边集数组比较个性。边乱存的时候，几乎不能拿来遍历。但是我们可以排序啊～～上个快排，按l排序，就相当于把邻接表一串串挨个首尾相连了。。。

但是你想想，空间上数组邻接表用了O(n²)，邻接矩阵也是；而边集数组只有O(e)。而排序之后l就变成了1,1,2,2,2,3,4,…,n的样子，再做个数组h[i]=l中第一次出现i的l的数组下标（就是邻接表的表头），就能实现O(e)遍历了。而排序是O(elge)的，比链表邻接表的O(e)要差点。说来说去就是链表邻接表最好，就是难操作。。因此时间吃紧空间不吃紧就数组邻接表，两个都吃紧（NOIP中不多，但不是没有）就链表邻接表或边集数组，都不吃紧就邻接矩阵好了。估计没有时间不吃紧空间吃紧。。。