柯西序列 (Cauchy sequence)

一组数列由许多元素组成，每个元素都有一个唯一的序号。柯西序列是这样一组数列，它的元素随着序号增加而接近。

 

给定一个数列，如何判断它是否是柯西序列？方法是先去掉N个元素（N是有限的数），再看剩下的元素有没有这样一种规律：任何两个元素之差不大于任意指定的正数。

 

这种序列有无穷多个元素，我们可以举一个具体的例子。比如一个序列：{X1, X2, X3, X4…}，其中X1 = 1, Xn+1 = (Xn + 2 / Xn) / 2。这个序列其实是：{1, 3/2, 17/12 … }。可以证明这个数列最后收敛到一个无理数：根号2。既然它收敛于某个具体的数（根号2），那么当我们去掉有限个数之后，剩下的数都无穷接近于根号2，当然任何两个元素之差不大于任意正数，于是能确定这是柯西序列。

 

我们可知，柯西序列的定义有赖于如何定义距离。在上述例子里，我们把两个数之差定义为它们的距离，当然距离还有其他的定义方法。只有定义了距离，柯西序列才有意义。换句话说，只有在度量空间中柯西序列才有意义。

 

柯西序列的重要作用是定义“完备空间”。完备空间是指一种度量空间，它的所有柯西序列（如果有的话），都收敛在这个空间自己里面。有一种直观的形容方法就是完备空间“没有孔”（内部不缺点），“不缺皮”（边界不缺点）。完备空间在数学分析里面有重大作用。

 

柯西序列里面的“柯西”是指十九世纪法国数学家奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy）。柯西的著作非常多，仅次于欧拉。他毕业于巴黎综合理工学院，曾在巴黎大学任教。因为父亲的关系，柯西与拉格朗日、拉普拉斯等前辈交往甚密。柯西信仰罗马天主教，是法国大革命后的保皇派。