卡特兰数
来源:互联网 发布:官路淘宝txt下载棉花糖 编辑:程序博客网 时间:2024/04/23 14:07
Catalan数 中文:卡特兰数 原理: 令h(1)=1,h(0)=1,catalan数满足递归式: h(n)= h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1) (其中n>=2) 另类递归式: h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1); 该递推关系的解为: h(n+1)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...) 我并不关心其解是怎么求出来的,我只想知道怎么用catalan数分析问题。 我总结了一下,最典型的四类应用:(实质上却都一样,无非是递归等式的应用,就看你能不能分解问题写出递归式了) 1.括号化问题。 矩阵链乘: P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?(h(n)种) 2.出栈次序问题。 一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列? 类似:有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈) 3.将多边行划分为三角形问题。 将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数? 类似:一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她 从不穿越(但可以碰到)从家到办公室的对角线,那么有多少条可能的道路? 类似:在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数? 4.给顶节点组成二叉树的问题。 给定N个节点,能构成多少种不同的二叉树? (能构成h(N)个) Catalan数的解法 Catalan数的组合公式为 Cn=C(2n,n) / (n+1); 此数的递归公式为 h(n ) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1) /* 大数解 对于大数来说,就应该使用下面的大数算法。 使用的公式为:h(n) = h(n-1)*(4*n-2)/(n+1); */ // 0ms #include<iostream> using namespace std; #define MAX 100 #define BASE 10000 void multiply(int a[],int Max,int b) //大数乘法,注意参数的传递 { int i,array=0; for (i = Max-1; i >= 0; i--) { array += b * a[i]; a[i] = array % BASE; // 数组每一位存放大数的四位数字 array /= BASE; } } void divide(int a[], int Max, int b) //模拟大数除法 { int i, div = 0; for (i = 0; i < Max; i++) { div = div * BASE + a[i]; a[i] = div / b; div %= b; } } int main() { int a[101][MAX],i, n; memset(a[1],0,MAX*sizeof(int)); for (i=2, a[1][MAX-1] = 1; i < 101; i++) // 高坐标存放大数低位 { memcpy(a[i], a[i-1], MAX * sizeof(int)); //h[i] = h[i-1]; multiply(a[i], MAX, 4 * i - 2); //h[i] *= (4*i-2); divide(a[i], MAX, i + 1); //h[i] /= (i+1); } while (cin >> n) { for (i = 0; i < MAX && a[n][i] == 0; i++); //去掉数组前为0的数字。 cout << a[n][i++]; //输出第一个非0数 for (; i < MAX; i++) { printf("%04d",a[n][i]); //输出后面的数,并每位都保持4位长度!(32767) } cout << endl; } return 0; } AC CODE 2: //C(0) = 1 ; (n+2)*C(n+1) = (4n+2)*C(n); 也即是:h(n) = h(n-1) * (4 * n - 2)/(n+1); // 0MS #include<iostream> using namespace std; int a[101][101] = {0}; int main() { int n,i,j,len,r,temp,t; int b[101]; a[1][0] = 1; // 低坐标存放大数的低位 len = 1; b[1] = 1; for (i = 2; i <= 100; i++) { t = i - 1; for (j=0;j<len;j++) // 模拟乘法,从低位开始 { a[i][j] = a[i-1][j] * (4 * t + 2); } for (r = j = 0; j < len; j++) // 处理相乘结果 { temp = a[i][j] + r; a[i][j] = temp % 10; r = temp / 10; } while (r) // 进位处理 { a[i][len++] = r % 10; r /= 10; } for (j = len-1, r = 0; j >= 0; j--) // 模拟除法,从高位开始 { temp = r * 10 + a[i][j]; a[i][j] = temp / (t+2); r = temp % (t+2); } while (!a[i][len-1]) // 高位零处理 { len--; } b[i] = len; // 记录结果的长度 } while (cin >> n) { for(j = b[n] - 1; j >= 0; j--) { printf("%d",a[n][j]); } printf("/n"); } return 0; 《编程之美》中提到了“买票找零”问题,查阅了下资料,此问题和卡特兰数 Cn有关,其定义如下: 卡特兰数真是一个神奇的数字,很多组合问题的数量都和它有关系,例如: XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY ((())) ()(()) ()()() (())() (()()) ((ab)c)d (a(bc))d (ab)(cd) a((bc)d) a(b(cd)) 在《Enumerative Combinatorics》一书中,竟然提到了多达 66种组合问题和卡特兰数有关。 分析 “卡特兰数”除了可以使用公式计算,也可以采用“分级排列法”来求解。以 n对括弧的合法匹配为例,对于一个序列 (()而言,有两个左括弧,和一个右括弧,可以看成“抵消了一对括弧,还剩下一个左括弧等待抵消”,那么说明还可以在末尾增加一个右括弧,或者一个左括弧,没有左括弧剩余的时候,不能添加右括弧。 由此,问题可以理解为,总共 2n个括弧,求 1~2n级的情况,第 i 级保存所有剩余 i 个左括号的排列方案数。 1~8级的计算过程如下表: 计算过程解释如下: 1级:只能放 1个“(”; 2级:可以在一级末尾增加一个“)”或者一个“ (” 以后每级计算时,如果遇到剩余 n>0个“(”的方案,可以在末尾增加一个“ (”或者“ )”进入下一级;遇到剩余 n=0个“(”的方案,可以在末尾增加一个“ (”进入下一级。 奇数级只能包含剩余奇数个“(”的排列方案 偶数级只能包含剩余偶数个“(”的排列方案 从表中可以看出,灰色部分可以不用计算。 解法 关键代码为: double Catalan(int n) { if (n == 0) return 1; for (int i = 2; i <= 2 * n; i++) { var m = i <= n ? i : 2 * n + 1 - i; for (int j = (i - 1) & 1; j <= m; j += 2) { if (j > 0) arr[j - 1] += arr[j]; if (j < n) arr[j + 1] += arr[j]; arr[j] = 0; } } return arr[0]; } 其中: n为 Cn中的 n; arr = new double[n + 1];//arr[i]代表有 k个括弧的时候,剩余 "("个数为 i的排列方案个数 arr[1] = 1; 讨论 算法复杂度为 = O(n^2),空间复杂度为 O(n+1)。相对于利用公式计算而言,此方法的优势在于——没有乘除法,只有加法。
- 卡特兰数,高精度卡特兰数
- 卡特兰数
- 卡特兰数(Catalan)
- 卡特兰数
- 卡特兰数
- 卡特兰数 大数
- 卡特兰数
- 卡特兰数
- 卡特兰数
- 卡特兰数
- 卡特兰数
- 卡特兰数
- 卡特兰数
- 卡特兰数
- 卡特兰数
- 卡特兰数
- 卡特兰数
- 卡特兰数
- 最近总结了串口(COM)读写操作的三种方式
- Android Json 数据解析
- ACM/ICPC要求的知识点
- SDL init failure, reason is: No available video device
- FortiGate FTP
- 卡特兰数
- 我的计算机成长之路--链表
- FortiGate文档及技术支持网站
- 深入浅出VC++串口编程--基于Win32 API
- android.graphics.Camera解读
- 深入浅出VC++串口编程--基于控件
- Java解惑系列——换算(数据类型)
- SQL Server 2005“备份集中的数据库备份与现有的数据库不同”解决方法
- zip文件压缩解压缩