微软过桥问题的图论解法

微软的过桥问题说的是4个人在晚上过一座小桥，过桥时必须要用到手电筒，只有一枚手电筒，每次最多只可以有两人通过， 4个人的过桥速度分别为1分钟、2分钟、5分钟、10分钟，试问最少需要多长时间4人才可以全部通过小桥？

这个问题如果用图论来建模的话，就可以以4个人在桥两端的状态来作为节点来构造一个有向图，如下图所示，以已经过桥了的人的状态作为图的节点，初始时没有人过桥，所以以空表示，第一轮有两个人过桥，有6种（#add,C(4,2)）可能的组合，(1，2)（1，5）（1，10）（2，5）（2，10）（5，10），从空的状态转换到这些状态的需要的时间分别为2，5，10，5，10，10分钟，时间就作为有向边的权值。当有两个人过桥后，需要一个人拿手电筒回去接其他人，这时有四种可能的情况，分别是1，2，5，10中的一人留在了河的对岸，（1，2）这种状态只能转换到（1）（2）两种状态，对应的边的权值分别为2，1分钟，（1，2）转换到（1）时也就是2返回了，返回需要耗时2分钟，以此类推可以建立以下的图论模型。

要求出最少需要多长时间4人全部通过小桥实际上就是在图中求出（空）节点到（1，2，5，10）节点间的最短路径。

根据Dijkstra最短路径算法很容易求出其最短路径，如图中的粗线所示。

这样总时间为2＋1＋10＋2＋2＝17分钟

所以能够活学图论的话，这类智力问题就变成了图论的入门级的问题。

注: 此法缺点是过于繁琐,一个4人过桥估计都要10分钟,如果5人,6人以致N个人过桥恐怕难以解出,另一方法是采用分治法,N个人过河,每次由两个人送另两个人过河,如果N=3时,由最慢的送另两个过河,递归结束, 算法过程为:一次递归可送两个人过河,假设最快A,次快B,次慢Y,最慢Z的过河时间用a,b,y,z表示,如果a+y > 2b,则由A,B送C,D过河;如果a+y < 2b,则由A送B,C,D过河,a+y=2b,两种方式随意,这样剩下N-2个人,依照上面步骤,直到N=3.详细的理论推导网上有专题文章.此不细述.