微软的扔杯子问题-动态规划

来源:互联网 发布:pgp加密软件下载 编辑:程序博客网 时间:2024/03/28 21:46

在新浪微博上看到了一微软面试题


题目描述
一种杯子,若在第N层被摔破,则在任何比N高的楼层均会破,若在第M层不破,则在任何比M低的楼层均不会破,给你两个这样的杯子,让你在100层高的楼层中测试,要求用最少的测试次数找出恰巧会使杯子破碎的楼层。
不等式解法
所有讨论基于2个杯子的情况:
下图中所有图示的红线均表示剩下两个杯子的时候的试摔位置,当杯子破碎后,也就是只剩下一个杯子的时候,只需要从已知范围的最底层向已知范围的最高层逐层试摔。
当只有一层的时候,需要一次试摔。当有两层的时候,需要两次试摔。
当需要三层时候,首先讨论是否可以通过两次试摔完成,可以发现可以,方法如图。
当需要四层时候,首先讨论是否可以通过两次试摔完成,可以发现已经不行,因此至少需要三次试摔。
当需要五层时候,首先讨论是否可以通过小于等于三次试摔完成,如果不行则讨论最多四次试摔的情况。依次类推,如下图:


因此,当有100层的时候,最多需要n次试摔,使得 n+(n-1)+(n-2)+...+1 >= 100,然后对n上取整,因此n=14。最差情况需要14次试摔。试摔方法为:第一次在14层扔,如果没破,在27层(14+13)继续扔,不破在39层(27+12)继续扔,依次类推。 如果破了,剩下一个杯子,从已知范围的最底层向已知范围的最高层逐层试摔。
动态规划解法
假设用dp[i][j]表示剩余i层,j个杯子时候最少需要多少次试摔。
(1)dp[i][1] = i,也就是说当只剩下一个杯子时,只能从第一层开始逐层向上试摔。
(2)dp[0][j] = 0,当只剩下0层时,只需要进行0次试摔。
(3)dp[1][j] = 1,当只剩下1层时,只需要进行1次试摔,前提是j>0
(4)dp[i][j] = min(1=<k<j)(max(dp[k-1][i-1], dp[j-k][i]) + 1),也就是当杯子破和不破的时候分成两个子问题,分别求解,之后求子问题试摔次数的最大和作为这种分解方法的试摔次数,之后取这些所有分拆子问题的方法中,使子问题和最小的方法。
route[i][j],表示剩下i层j个杯子时,下一次试摔的楼层。当j=1时,从这个范围内的最底层依次向最高层试摔。
//dp.c#include <stdio.h>#define LAYER 101#define CUP 3int main(){    int dp[LAYER][CUP], route[LAYER][CUP], i, j, k;    for(i=1; i<LAYER; i++){        dp[i][1] = i;         dp[i][0] = 0;    }    for(i=1; i<CUP; i++){         dp[1][i] = 1;        route[1][i] = 0;        dp[0][i] = 0;    }     for(i=2; i<CUP; i++)        for(j=2; j<LAYER; j++){            dp[j][i] = j;            route[j][i] = 0;            for(k=1; k<j; k++){                int min = dp[k-1][i-1] > dp[j-k][i]? dp[k-1][i-1]+1: dp[j-k][i]+1;                route[j][i] = min <= dp[j][i]? k: route[j][i];                dp[j][i] = min < dp[j][i]? min: dp[j][i];            }        }    printf("MIN STEP IS %d\n", dp[LAYER-1][CUP-1]);    //for(i=1; i<LAYER; i++){for(j=2; j<CUP; j++){printf("%d\t", route[i][j]);} printf("\n");}    return 0;}

输出结果为:MIN STEP IS 14。也就是,有一种方法,最多需要试摔14次。同时route数组打印出了方法。
比如route数组的结果:
route[i][2]10213243536374849410411512513514515516617618619620621622723724725726727728729830831832833834835836837938939940941942943944945946104710481049105010511052105310541055105611571158115911601161116211631164116511661167126812691270127112721273127412751276127712781279138013811382138313841385138613871388138913901391139214931494149514961497149814991410014

因此,route[100][2]=14,第一次试摔是在14层,如果碎了,那么从第一层开始往14层试摔,如果没碎,第二次试摔是在route[100-14][2]=route[86][2]=13,也就是在14+13=27层进行第二次试摔,如果这次碎了,那么从第14+1=15层开始向上试摔,如果这次没碎,第三次试摔是在route[86-13][2]=route[73][2]=12,也就是在27+12=39层开始试摔,依次类推。