判断一个数能否被另一个数整除

来源:互联网 发布:王力宏科比微信软件 编辑:程序博客网 时间:2024/03/29 15:45
 

判断题的解答

  【用筛去(消倍)法判断】一个数能否被3整除,本来是不太难的问题。但当一个数比较大时,用各数位上的数相加,速度很慢,而且容易出现口算错误。若用“筛去(消倍)法”来判断,情况就大不一样了。例如

  (1)判断76935能否被3整除。先直接筛去能被3整除的6、9、3,剩下的7与5,和为3的倍数,所以3|76935(3能整除76935,或76935能被3整除)。

  (2)判断3165493能否被3整除。先直接筛去3的倍数3、6、9、

能整除3165493,或3165493不能被3整除。)

  【能否被7整除】一个数能否被7整除,只要把这个数的末位数字截去,再从余下的数中,减去这个末位数字的2 倍,如果这时能看出所得的差能被7整除,则原来的数就能被7整除,否则就不能被7整除;若是仍看不出来,就要继续上述过程,直到能清楚作出判断为止。例如,判断133能否被7整除:

  因为差数7能被7整除,所以7|133。

  这是什么原因呢?请看下面的算式:

  133×2=(13×10+3)×2

  =13×20+3×2

  =13×(21-1)+3×2

  =13×21-13+3×2

  =13×7×3-(13-3×2)

  显然,13×7×3中有约数7,它能被7整除,故只要检验后面的(13-3×2)能否被7整除就可以了。(原理可见第一部分的整除性定理)

  如果要判断的数的位数很多,那么,将这种做法一直进行下去就是。例如,判断62433能否被7整除:

  ∵7|42,∴7|62433

  这样的判定方法可称作“割尾法”。一个数能否被11、13、17和19整除,也可用割尾法去判断。

  【能否被11整除】判断一个数能否被11整除,可以采用割尾法、奇偶位差法及分节求和法。

  (1)割尾法。一个数能否被11整除,只要把它的末尾数字截去,从余下的数里减去这个末位数,看所得的差能否被11整除。差能整除的,原来的数就能整除;差不能整除的,原来的数就不能整除。如一次所得的差还看不出能否被11整除,就继续上述过程,直到能作出判断为止。例如,判断2629能否被11整除:

  因为11|22,所以11|2629。

  之所以能这么判断,原因在于

  2629=2620+9

  =262×10+9

  =262×(11-1)+9

  =262×11-262+9

  =262×11-(262-9)

  在262×11中有因数11,所以只要看(262-9)的差能否被11整除,就可判断原来的2629能否被11整除。

  而(262-9)的差是253,

  253=250+3

  =25×10+3

  =25×(11-1)+3

  =25×11-25+3

  =25×11-(25-3)

  同样,只要看(25-3)能否被11整除,就会知道253能否被11整除。进而便可知2629能否被11整除了。

  (2)奇偶位差法。判断一个数能否被11整除,可先分别求出此数的奇位数字之和及偶位数字之和,再求这两个和的差数,若这个差能被11整除,则原来的那个数就能被11整除;否则,原来的数就不能被11整除。例如,判断823724能否被11整除:

  ∵它的奇位数字之和为4+7+2=13(数位数,从右边个位开始往左数),

  它的偶位数字的和为2+3+8=13

  两个和的差数是13-13=0(两数不等时用大数减小数)

  而 11|0

  ∴11|823724

  之所以能这样判断,是因为

  823,724

  =8×100,000+2×10,000+3×1,000+7×100+2×10+4

  =8×(100,001-1)+2×(9,999+1)+3×(1,001-1)+7×(99+1)+2×(11-1)+4

  =8×100,001+2×9,999+3×1,001+7×99+2×11+[(2+7+4)-(8+3+2)]

  显然,在前几项中,因数100,001、9,999、1,001、99、11都是11的倍数,故只需检验[(2+7+4)-(8+3+2)]

  能否被11整除,就可以作出判断了。

  (3)分节求和法。把一个自然数从右向左每两位截为一节,然后把这些节加起来。若所得的和能被11整除,那么这个数就能被11整除;否则,这个数就不能被11整除。在这一情况下,如果仍不能作出判断,那就继续上述过程,直到清楚地作出判断为止。例如,判断762421能否被11整除:

  

  这一判断方法的理由,可见下面的算式:

  762421=76×10000+24×100+21

  =76×(9999+1)+24×(99+1)+21

  =76×9999+76+24×99+24+21

  =76×9999+24×99+(76+24+21)

  在前两项中,因数9999和9都能被11整除,所以只需要检验后面的(76+24+21)能否被11整除了。能整除的原数就能被11整除;不能整除的原数,就不能被11整除。

  【能否被13整除】一个数能否被13整除,可采用“割尾法”判断:截去末位数字,余下的数加上末位数的4倍。所得的和是13的倍数,则这个数就能被13整除,否则,就不能被13整除。要是割尾一次仍不能作出判断,那就继续割尾,直到能作出判断为止。例如,判断364能否被13整除:

  ∵13|52,∴13|364。

  这一判断的理由,可由下式看出:

  364×4=(36×10+4)×4

  =36×40+4×4

  =36×(39+1)+4×4

  =36×39+36+4×4

  =36×13×3+(36+4×4)

  前面的36×13×3中,有约数13,所以作出判断时,只需要检验(36+4×4)是否能被13整除了。

  【能否被17整除】一个数能否被17整除,同样可用“割尾法”作巧妙而快速地判断。不过,具体地做法有所不同。例如,判断731能否被17整除,判断方法如下:

  ∵17|68,∴17|731。

  这样做的理由,可见下面的算式推导:

  731×5=(73×10+1)×5

  =73×50+1×5

  =73×(51-1)+1×5

  =73×51-73+1×5

  =73×17×3-(73-1×5)

  由于前面的73×17×3有约数17,故只需检验(73-1×5)能否被17整除,就知道“731×5”能否被17整除。知道“731×5”能否被17整除,也就是知道731能否被17整除了(根据整除性定理)。

  若是“割尾”一次仍不能作出判断,那就依法继续割尾下去,直到能作出判断为止。例如,判断279191能否被17整除, 可以作如下割尾判断:

  ∵17|17,∴17|279191

  【能否被19整除】一个数能否被19整除,也是可用“割尾法”作巧妙判断的,具体做法如

  判断475能否被19整除:

  ∵19|57,∴19|475。

  其中的道理,可见下面的算式推导:

  475×2=(47×10+5)×2

  =47×20+5×2

  =47×(19+1)+5×2

  =47×19+(47+5×2)

  最后算式中的47×19有约数19,故只需要检验(47+5×2)能否被19整除,就知道“475×2”及“475”能否被19整除了。

  如果一次“割尾”仍不能作出判断,那就继续“割尾”下去,直至能作出判断为止。例如,判断14785能否被19整除:

 

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