卡特兰数

来源:互联网 发布:软件安装管理器制作 编辑:程序博客网 时间:2024/03/29 14:40

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卡特兰数  

    Catalan数

  中文:卡特兰数

  原理:

  令h(1)=1,h(0)=1,catalan数满足递归式:

  h(n)= h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1) (其中n>=2)

  另类递归式:

  h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);

  该递推关系的解为:

  h(n+1)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)

  我并不关心其解是怎么求出来的,我只想知道怎么用catalan数分析问题。

  我总结了一下,最典型的四类应用:(实质上却都一样,无非是递归等式的应用,就看你能不能分解问题写出递归式了)

  1.括号化问题。

  矩阵链乘: P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?(h(n)种)

  2.出栈次序问题。

  一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

  类似:有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

  3.将多边行划分为三角形问题。

  将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?

  类似:一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她

  从不穿越(但可以碰到)从家到办公室的对角线,那么有多少条可能的道路?

  类似:在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

  4.给顶节点组成二叉树的问题。

  给定N个节点,能构成多少种不同的二叉树?

  (能构成h(N)个)

Catalan数的解法

Catalan数的组合公式为 Cn=C(2n,n) / (n+1);

此数的递归公式为 h(n ) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1)

/* 大数解

对于大数来说,就应该使用下面的大数算法。

使用的公式为:h(n) = h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

*/

// 0ms

#include<iostream>

using namespace std;

#define MAX 100

#define BASE 10000

void multiply(int a[],int Max,int b) //大数乘法,注意参数的传递

{

    int i,array=0;

    for (i = Max-1; i >= 0; i--)   

    {

        array += b * a[i];

        a[i] = array % BASE; // 数组每一位存放大数的四位数字

        array /= BASE;   

    }

}

void divide(int a[], int Max, int b) //模拟大数除法

{

    int i, div = 0;

    for (i = 0; i < Max; i++)   

    {

        div = div * BASE + a[i];

        a[i] = div / b;

        div %= b;

    }

}

int main()

{

    int a[101][MAX],i, n;

    memset(a[1],0,MAX*sizeof(int));

    for (i=2, a[1][MAX-1] = 1; i < 101; i++) // 高坐标存放大数低位

    {

        memcpy(a[i], a[i-1], MAX * sizeof(int));      //h[i] = h[i-1];

        multiply(a[i], MAX, 4 * i - 2);               //h[i] *= (4*i-2);

        divide(a[i], MAX, i + 1);                  //h[i] /= (i+1);

    }

    while (cin >> n)   

    {

        for (i = 0; i < MAX && a[n][i] == 0; i++); //去掉数组前为0的数字。

        cout << a[n][i++];             //输出第一个非0数

        for (; i < MAX; i++)   

        {

    printf("%04d",a[n][i]);       //输出后面的数,并每位都保持4位长度!(32767)

   }

        cout << endl;

    }

    return 0;

}

AC CODE 2:

//C(0) = 1 ; (n+2)*C(n+1) = (4n+2)*C(n); 也即是:h(n) = h(n-1) * (4 * n - 2)/(n+1);

// 0MS

#include<iostream>

using namespace std;

int a[101][101] = {0};

int main()

{

    int n,i,j,len,r,temp,t;

    int b[101];

    a[1][0] = 1; // 低坐标存放大数的低位

    len = 1;

    b[1] = 1;

    for (i = 2; i <= 100; i++)

    {

        t = i - 1;

        for (j=0;j<len;j++) // 模拟乘法,从低位开始

   {

    a[i][j] = a[i-1][j] * (4 * t + 2);

   }

        for (r = j = 0; j < len; j++) // 处理相乘结果

        {

            temp = a[i][j] + r;

            a[i][j] = temp % 10;

            r = temp / 10;

        }

        while (r) // 进位处理

        {

            a[i][len++] = r % 10;

            r /= 10;

        }

        for (j = len-1, r = 0; j >= 0; j--) // 模拟除法,从高位开始

        {

            temp = r * 10 + a[i][j];

            a[i][j] = temp / (t+2);

            r = temp % (t+2);

        }

        while (!a[i][len-1]) // 高位零处理

   {

    len--;

   }

        b[i] = len; // 记录结果的长度

    }

    while (cin >> n)

    {  

        for(j = b[n] - 1; j >= 0; j--)

   {

    printf("%d",a[n][j]);

   }

        printf("\n");

    }

    return 0;

《编程之美》中提到了“买票找零”问题,查阅了下资料,此问题和卡特兰数 Cn有关,其定义如下:

卡特兰数 - lz_666888 - lz_666888的博客

卡特兰数真是一个神奇的数字,很多组合问题的数量都和它有关系,例如:

  • Cn= 长度为 2n的 Dyck words的数量。 Dyck words是由 n个 X和 n个 Y组成的字符串,并且从左往右数, Y的数量不超过 X,例如长度为 6的 Dyck words为:

XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

  • Cn= n对括号正确匹配组成的字符串数,例如 3对括号能够组成:

((())) ()(()) ()()() (())() (()())

  • Cn= n+1个数相乘,所有的括号方案数。例如, 4个数相乘的括号方案为:

 

((ab)c)d (a(bc))d (ab)(cd) a((bc)d) a(b(cd))

  • Cn= 拥有 n+1 个叶子节点的二叉树的数量。例如 4个叶子节点的所有二叉树形态:

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  • Cn=n*n的方格地图中,从一个角到另外一个角,不跨越对角线的路径数,例如, 4×4方格地图中的路径有:

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  • Cn= n+2条边的多边形,能被分割成三角形的方案数,例如 6边型的分割方案有:

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  • Cn= 圆桌周围有 2n个人,他们两两握手,但没有交叉的方案数。

在《Enumerative Combinatorics》一书中,竟然提到了多达 66种组合问题和卡特兰数有关。

 

分析

    “卡特兰数”除了可以使用公式计算,也可以采用“分级排列法”来求解。以 n对括弧的合法匹配为例,对于一个序列 (()而言,有两个左括弧,和一个右括弧,可以看成“抵消了一对括弧,还剩下一个左括弧等待抵消”,那么说明还可以在末尾增加一个右括弧,或者一个左括弧,没有左括弧剩余的时候,不能添加右括弧。

    由此,问题可以理解为,总共 2n个括弧,求 1~2n级的情况,第 i 级保存所有剩余 i 个左括号的排列方案数。 1~8级的计算过程如下表:

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    计算过程解释如下: 1级:只能放 1个“(”; 2级:可以在一级末尾增加一个“)”或者一个“ (”

以后每级计算时,如果遇到剩余 n>0个“(”的方案,可以在末尾增加一个“ (”或者“ )”进入下一级;遇到剩余 n=0个“(”的方案,可以在末尾增加一个“ (”进入下一级。

奇数级只能包含剩余奇数个“(”的排列方案

偶数级只能包含剩余偶数个“(”的排列方案

从表中可以看出,灰色部分可以不用计算。

解法

关键代码为:

double Catalan(int n) { if (n == 0) return 1; for (int i = 2; i <= 2 * n; i++) { var m = i <= n ? i : 2 * n + 1 - i; for (int j = (i - 1) & 1; j <= m; j += 2) { if (j > 0) arr[j - 1] += arr[j]; if (j < n) arr[j + 1] += arr[j]; arr[j] = 0; } } return arr[0]; }

 

其中:

n为 Cn中的 n;

arr = new double[n + 1];//arr[i]代表有 k个括弧的时候,剩余 "("个数为 i的排列方案个数 arr[1] = 1;

 

讨论

算法复杂度为 卡特兰数 - lz_666888 - lz_666888的博客 = O(n^2),空间复杂度为 O(n+1)。相对于利用公式计算而言,此方法的优势在于——没有乘除法,只有加法。

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