prim 与dijkstra的异同 POJ 2485 Highways

题目链接：http://poj.org/problem?id=2485

题意：一个地方F，没有Highways，交通不便，要建 Highways，每个Highway连接两个城镇，所有的Highways都是直线的。

样例输入意思：

T  案例数

N 城镇数

下面N行N列，以矩阵的形式

     v1   v2    v3

v1  0    990  692 

v2 990   0    179

v3 692  179   0

样例输出意思：

明显路径是 v1-v3-v2，路径中最大的数是692，输出的就是它

思路：

最小生成树问题，一般用prim，kuskal算法 。prim算法是以顶点来扩展的。把每次找到的顶点加入顶点集U，然后下次再找与U相邻且最小的顶点，加入U，依次，得到最小生成树。

参考：http://en.wikipedia.org/wiki/Prim's_algorithm

#include <stdio.h>#include <string.h>#define M  502#define INF 99999int prim[M][M];int visit[M];int Len[M];  //Len[i] 记录顶点集U到i的最短距离，注意区别dijkstra中的dis[i]int n;int ans;int  prim_solve(int xx){    int minx;    int i,j,k;    memset(visit,0,sizeof(visit));  //开始时都未访问    ans = -1;    for (i = 1; i <= n; i++)    {        Len[i] = prim[xx][i];    }    Len[xx] = 0;    visit[xx] = 1;  //此时U中只有起点xx    for(i = 1; i< n; i++)  // 注意：不能=,因为xx起点已经访问过，所以只需再访问n-1个    {        minx = INF;        for(j = 1; j <= n; j++ )   //很像dijkstra中的吧，但注意：这里的Len[i]与dijkstra中dis[i]意义相当不同        {                          //这里找的是：与顶点集U相邻的距离最小值            if ( !visit[j]  && Len[j] < minx)            {                minx = Len[j];                k = j;            }        }        visit[k] = 1;   //找到，加入U        if (ans < minx)   //保存最短路径中最大的一条边，比如样例中692        {            ans = minx;        }        //i=1时，U中只有起点xx和新加入的k，Len[j]与prim[j]比较：就是比较xx到j的距离和新加入U的k顶点到j的距离        //之后，Len[j]就是U到j的最短距离啦，这样把U中所有顶点看成一个，Len[j]就是U到j(V-U中任意一个)的最短距离        //以此类推，i>1 时，每次都把原来的顶点集U到j的距离和新加入的k到j的距离比较，这样得到了新U到j的最短距离        //从而,就得到了新U到V-U中任一顶点的距离，保存在 Len中        for (j = 1; j <= n; j++)           {            if ( !visit[j] && Len[j] > prim[k][j])            {                Len[j] = prim[k][j];            }        }    }    return ans;}int main(){    int T;    int i,j;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        memset(prim,0,sizeof(prim));        scanf("%d",&n);        for(i = 1; i <= n; i++)            for(j = 1; j <= n; j ++)            {                scanf("%d",&prim[i][j]);            }        printf("%d\n",prim_solve(1)); //以第一个顶点开始，也可以是其他，无所谓，改成2。。。。一样    }    return 0;}

你会觉得prim代码实现是来很像dijkstra，参考http://blog.csdn.net/bill_ming/article/details/7578037

prim是计算最小生成树的算法，dijkstra是计算最短路径的算法。

他们都是从几何V-U中不断选出权值最小的顶点加入U，那他们是否可以互用吗？

必然不可以嘛！

他们的不同之处是：

prim是把U中的点看成一个整体，每次寻找V-U中和U距离最小的顶点加入U。而dijkstra是相对于源点V0而言的，每次寻找的是V-U中里V0最近的顶点。

所以：

dijkstra中dis[i]记录的是V0到i的最短距离。

用这样的for循环来更新dis,结果dis[j]是比较源点V0直接到j   和   源点V0经过k到j的最短距离所得结果

 for(j = 1; j <= n; j++)   
        {
            if ( !visit[j] && dis[j] > dis[k] + map[k][j])
            {
                dis[j] = dis[k] + map[k][j];
            }
        }

而prim中Len[i]记录的是顶点集U(看成整体)到i的最短距离

用这样的for循环来更新顶点集U到V-U中任一顶点的距离，比较的是加入k之前顶点集到j的距离  和 k 到j的距离 。

得到的就是包含k的新顶点集U到j的最短距离。   （感谢罗康琦大牛！！！）

//i=1时，U中只有起点xx和新加入的k，Len[j]与prim[j]比较：就是比较xx到j的距离和新加入U的k顶点到j的距离
        //之后，Len[j]就是U到j的最短距离啦，这样把U中所有顶点看成一个，Len[j]就是U到j(V-U中任意一个)的最短距离
        //以此类推，i>1 时，每次都把原来的顶点集U到j的距离和新加入的k到j的距离比较，这样得到了新U到j的最短距离
        //从而,就得到了新U到V-U中任一顶点的距离，保存在 Len中
        for (j = 1; j <= n; j++)   
        {
            if ( !visit[j] && Len[j] > prim[k][j])
            {
                Len[j] = prim[k][j];
            }
        }

他们的区别就知道了。所以不能互用啊，prim还是乖乖算最小生成树吧，dijkstra还是继续管计算最短路径吧

举个例子就知道他们不能乱来了：

有四个顶点(v0, v1, v2, v3)和四条边且边值定义为(v0, v1)=20, (v0, v2)=10, (v1, v3)=2, (v3, v2)=15的图，用Prim算法得到的最小生成树中v0跟v1是不直接相连的，也就是在最小生成树中v0v1的距离是v0->v2->v3->v1的距离是27，而用Dijkstra算法得到的v0v1的距离是20，也就是二者直接连线的长度。

SO。。。。