HDU 4311&2 Meeting point-1&2(曼哈顿距离&&切比雪夫距离)

来源:互联网 发布:奥比岛自查价淘宝 编辑:程序博客网 时间:2024/03/29 18:28

题目链接:Click here~~

题意:

平面上有n个点,定义两点间的距离D为 |x1-x2| + |y1-y2|。从n个点中找到一点,使其他点到此点的距离之和最小。

解题思路:

令点k为找到的点,ans = sum{D(i,k)} (i:1~n) 。即ans是一堆含有绝对值的式子相加,那么,有没有好的方法可以快速求出这些带绝对值的式子呢?

由于式中的x与y之间互不影响,则我们将x和y分开考虑,先考虑x。

初中时,我们便知,若是想去掉绝对值符号,必须知道式子的正负。

而当k确定时,ans中只存在两种x,即小于x(k)与大于x(k)的,不如我们把它们分别称为集合A与集合B。

则ans = ans(A) + ans(B)。

而经过简单变形可知 ans(A) = x(k)*num(A) - sum(x(i)) (i∈A) , ans(B) = sum(x(j)) - x(k)*num(B) (j∈B) .

则我们可以通过先对x排序,记录下num(A)与sum(x(i)) (i∈A)这两个就好了。而对于B集合,可以看做A在全集中的补集。

对y的处理同上。

#include <stdio.h>#include <algorithm>using namespace std;#define N 100005struct Num{    int x,y,id;}A[N];__int64 sumx[N],sumy[N];__int64 Sx,Sy;int numx[N],numy[N];int n,x[N],y[N];bool cmp1(Num s1,Num s2){    return s1.x < s2.x;}bool cmp2(Num s1,Num s2){    return s1.y < s2.y;}__int64 resx(int k){    return (__int64)x[k]*(2*numx[k]-n) + Sx - 2*sumx[k];}__int64 resy(int k){    return (__int64)y[k]*(2*numy[k]-n) + Sy - 2*sumy[k];}int main(){    //freopen("in.ads","r",stdin);    int z;    scanf("%d",&z);    while(z--)    {        Sx = Sy = 0;        scanf("%d",&n);        for(int i=1;i<=n;i++)        {            scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);            A[i].id = i;            A[i].x = x[i];            A[i].y = y[i];            Sx += x[i];            Sy += y[i];        }        sort(A+1,A+1+n,cmp1);        for(int i=1;i<=n;i++)        {            sumx[ A[i].id ] = sumx[ A[i-1].id ] + A[i].x;            numx[ A[i].id ] = i;        }        sort(A+1,A+1+n,cmp2);        for(int i=1;i<=n;i++)        {            sumy[ A[i].id ] = sumy[ A[i-1].id ] + A[i].y;            numy[ A[i].id ] = i;        }        __int64 ans = resx(1) + resy(1);        for(int k=2;k<=n;k++)            ans = min(ans,resx(k)+resy(k));        printf("%I64d\n",ans);    }    return 0;}

写完后感觉其实可以简化下。

#include <stdio.h>#include <algorithm>using namespace std;#define N 100005struct Num{    int x,y,id;}A[N];__int64 sumx[N],sumy[N];__int64 Sx,Sy;int n,x[N],y[N];bool cmp1(Num s1,Num s2){    return s1.x < s2.x;}bool cmp2(Num s1,Num s2){    return s1.y < s2.y;}int main(){    //freopen("in.ads","r",stdin);    int z;    scanf("%d",&z);    while(z--)    {        Sx = Sy = 0;        scanf("%d",&n);        for(int i=1;i<=n;i++)        {            scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);            A[i].id = i;            A[i].x = x[i];            A[i].y = y[i];            Sx += x[i];            Sy += y[i];        }        sort(A+1,A+1+n,cmp1);        __int64 ssum = 0;        for(int i=1;i<=n;i++)        {            ssum += A[i].x;            int j = A[i].id;            sumx[j] = (__int64)x[j]*(2*i-n) + Sx - 2*ssum;        }        sort(A+1,A+1+n,cmp2);        ssum = 0;        for(int i=1;i<=n;i++)        {            ssum += A[i].y;            int j = A[i].id;            sumy[j] = (__int64)y[j]*(2*i-n) + Sy - 2*ssum;        }        __int64 ans = sumx[1] + sumy[1];        for(int k=2;k<=n;k++)            ans = min(ans,sumx[k]+sumy[k]);        printf("%I64d\n",ans);    }    return 0;}

原来1题中的这种距离 |x1-x2| + |y1-y2|是曼哈顿距离(Manhattan Distance

2题中的这种距离 max(|x1-x2|, |y1-y2|)是切比雪夫距离(Chebyshev distance)。


对于原坐标系中两点间的 Chebyshev 距离,是将坐标轴顺时针旋转45度并将所有点的坐标值放大sqrt(2)倍所得到的新坐标系中的Manhattan距离的二分之一。


证明如下:

假设有两点(x1,y1), (x2,y2),不妨设 x1>x2。

则Chebyshev距离 D1 = max(|x1-x2|, |y1-y2|)

这两个点对应到新坐标系中的坐标为 (x1-y1, x1+y1), (x2-y2, x2+y2)

某点绕原点逆时针旋转α°(或坐标轴顺时针旋转)后,点(x,y)的坐标会变为(cosα x - sinα y , sinα x + cosα y)。

则Manhattan 距离D2 = |x1-y1-x2+y2| + |x1+y1-x2-y2|

分四种情况讨论:

1.1 y1>y2 && x1-x2>y1-y2

D1 = max(x1-x2, y1-y2) = x1 - x2

D2 = x1-y1-x2+y2 + x1+y1-x2-y2 = 2(x1-x2)

1.2   y1>y2 && x1-x2<=y1-y2

D1 = max(x1-x2,y1-y2) = y1-y2

D2 = -(x1-y1-x2+y2) + x1+y1-x2-y2 = 2(y1-y2)

2.1   y1<=y2 && x1-x2>y2-y1

D1 = max(x1-x2, y2-y1) = x1-x2

D2 = x1-y1-x2+y2 + x1+y1-x2-y2 = 2(x1-x2)

2.2   y1<=y2 && x1-x2<=y2-y1

D1 = max(x1-x2, y2-y1) = y2-y1

D2 = x1-y1-x2+y2 - (x1+y1-x2-y2) = 2(y2-y1)

于是,将Chebyshev距离形式转化成Manhattan距离的形式再求解即可。


原创粉丝点击