音阶--数学对于耳朵

光速c,π，e和阿伏伽德罗常数等都是宇宙常数的例子。有的数在一些公式和方程中起着重要的作用，这些公式和方程阐释了我们世界的种种对象，诸如几何、物理、化学和商业等。在一些著名的常数中，八度音程的概念可以说是一种特殊的自然常数。第八音在音乐世界担负着非常重要的角色，它建立了音阶的单位和距离。正如圆的周长与它的直径的比总是π那样，拨一根弦与拨一根长度只有一半的弦（即长度比为1/2）其振动发出同样的音调，并构成了一个音阶的长度（注：术语第八音（octave）来自拉丁词8。一个全音阶有7个不同的音调，从C调到B调和高C调，第八音则是第八音调）。较短的弦比原来的弦每秒振动的次数多一倍。

　　音调的数目，或者一个音阶的再分细是随意的，它是受开始创造一个特殊音阶时的种种因素的影响。构成一个音阶的声音或音调每一种都有专门的频率（注：频率是每秒振动的次数。声音和它的频率数之间存在着一一对应，尽管我们的耳朵还无法辨别全部可能的声音）。正如说过的那样，分别为第八音的两个音调，其频率一个是另一个的两倍（注：拨一根弦会产生一定的音调，例如C调，每秒振动264次。当弦长减为原来的一半长度时，它就产生第八音，其振动频率为每秒528次）。一只训练有素的耳朵能听出单个音程里近300种的声音或音调。不过，传统的乐器不可能产生许多音调，那么钢琴就要有2400个琴键。你能想象一位钢琴家要怎样在这种键盘上来回奔跑？因此，可能存在的音调数目不仅受到我们耳朵生理上的限制，而且还受乐器能力的限制。那么怎样从这300种可辨认的声音中选出构成音阶的音调呢？选取一个音阶中的音调类同于选取一个计数系统，那么这种选取要基于什么，又哪一种符号可以用来表示这样的数呢？

　　对于一个音阶，需要由所选取单个音程弦的长度及细分的数（音调构成音阶）来确定。我们发现，它就像计数系统那样在不同的文明里演化是不一样的。在古代希腊，人们是用字母表的字母来表示他们音阶里的七个音调的。这些调子是四弦（四个音调）的组合，而把这样的一组放在一起称为音阶，这种音阶是现代西方长音阶和短音阶的先驱。中国人用的是一种五声（五个音调）音阶。在印度，音乐是在特定范围内由"贱民"即兴演奏的，其音阶分为66个音级（"苏鲁提"），虽然实际上只有22个"苏鲁提"，但由它们形成了两个基本的七调音阶。波斯的音阶分为17音调或22音调。我们看到，虽然音阶是不变的，但它还是演化出许多不同的音乐体系。自然地，对某个特定文化的乐器，是不能用以演奏另一特定文化的音乐的。

　　乐器、花瓶、雕像等物品以及描绘声乐和器乐的音乐家的壁画在考古中被陆续的发掘和发现。其中不乏许多早期的音乐作品。例如，在伊拉克发掘的秀默人（古代幼发拉底河下游的一个种族--译者）的显示出八调音阶的泥板（约公元前1800年）；古希腊的纸草文简和雕刻在石头上的书文碎片（约公元100年）；一份音调用字母来写的希腊人手稿（约公元300年）；以及一份西班牙出土的穆斯林--阿拉伯人圣歌手稿；等等。

　　在公元前6世纪，毕达哥拉斯和他的信徒们最先把音乐和数学结合起来。他们坚信，数以某种方式统治着万物。可以想象，当他们发现一个调的音程、周期以及在弦构造上音调的比时欣喜的程度。他们还发现音乐的和声与整数之间的联系，认识到音调依赖于所弹弦的长度。他们发现，整个音阶能够由弦长的整数比产生（注：例如，开始时弦产生C调，然后C长度的16/15产生B调，C的6/5产生A调，C的4/3产生G调，C的3/2产生F调，C的8/5产生E调，C的16/9产生D调，而C的2/1给出低C调。此外，他们相信行星各有它们自己的音乐，天体能产生音乐的声音。上述见解以"天体的音乐"著称。就连开普勒也相信这种天体的音乐，他甚至为每个已知的行星写了谱。今天，天文学家们已从太阳风里接收到无线电讯号。这些声音包括呼啸声、爆裂声、啜泣声，在速度增大时综合的嘘嘘声则更加悦耳。科学家们还观测到来自太阳的振荡，这使得他们能够推测太阳在各种时期的振动）。

　　音阶是产生音乐所必须的吗？如果是这样，那么鸟儿歌唱又怎么说呢？在许多口头演出或讲述中，变化一个调子也只是口部轻微变换而已！当然，对于一种合作的演奏音阶是紧要的。音阶是音乐的写作语言，就像方程和符号是数学的写作语言一样。