hdu 2065 红色病毒

来源:互联网 发布:利拉德体测数据 编辑:程序博客网 时间:2024/03/29 06:53

问题分析
Problem Analyse 递推题

Algorithm Analyse 比起以前做过的递推题,这一题算比较麻烦的了(当然,原因是我没有想到

好的方法,如果你有更方便的方法,欢迎提供大家一起学习)。
如果没有任何条件限制,A、B、C、D组成长度为n的字符串,其个数应该为:4n。

因为有了A、C需要出现偶数次的要求,就出现合法和不合法的不同分组。
在不合法的组里,又有
1.A出现奇数次、C出现偶数次;
2.C出现奇数次、A出现偶数次;
3.A出现奇数次、C出现奇数次;
三种情况。

我们用数组
f[n][0]保存长度为n,合法的字符串的个数。
f[n][1]保存长度为n,仅A出现奇数次的字符串的个数。
f[n][2]保存长度为n,仅C出现奇数次的字符串的个数。
f[n][3]保存长度为n,A、C出现奇数次的字符串的个数。

f[n][0]
长度为n-1的合法字符串在末尾加上一个B或者D,都可以变成长度为n的合法字符串。
长度为n-1的仅A出现奇数次的字符串再在末尾加上一个A,也可以变成合法字符串。
长度为n-1的仅C出现奇数次的字符串再在末尾加上一个C,也可以变成合法字符串。
所以,f[n][0] = 2 × f[n-1][0] + f[n-1][1] + f[n-1][2];

f[n][1]
长度为n-1的合法字符串在末尾加上A,都可以变成长度为n的仅A出现奇数次的字符串。
长度为n-1的仅A出现奇数次的字符串再在末尾加上一个B或者D,也可以变成仅A出现奇数次的字

符串。
长度为n-1的A、C出现奇数次的字符串再在末尾加上一个C,也可以变成仅A出现奇数次的字符串


所以,f[n][1] = 2 × f[n-1][1] + f[n-1][0] + f[n-1][3];

f[n][2]
长度为n-1的合法字符串在末尾加上C,都可以变成长度为n的仅C出现奇数次的字符串。
长度为n-1的仅C出现奇数次的字符串再在末尾加上一个B或者D,也可以变成仅C出现奇数次的字

符串。
长度为n-1的A、C出现奇数次的字符串再在末尾加上一个A,也可以变成仅C出现奇数次的字符串


所以,f[n][2] = 2 × f[n-1][2] + f[n-1][0] + f[n-1][3];

f[n][3]
长度为n-1的A、C出现奇数次的字符串在末尾加上一B或者D,都可以变成长度为n的A、C出现奇数

次的字符串。
长度为n-1的仅A出现奇数次的字符串再在末尾加上一个C,也可以变成A、C出现奇数次的字符串


长度为n-1的仅C出现奇数次的字符串再在末尾加上一个A,也可以变成A、C出现奇数次的字符串


所以,f[n][3] = 2 × f[n-1][3] + f[n-1][1] + f[n-1][2];

综上所述,我们得到:
f[n][0] = 2 × f[n-1][0] + f[n-1][1] + f[n-1][2]; ①
f[n][1] = 2 × f[n-1][1] + f[n-1][0] + f[n-1][3]; ②
f[n][2] = 2 × f[n-1][2] + f[n-1][0] + f[n-1][3]; ③
f[n][3] = 2 × f[n-1][3] + f[n-1][1] + f[n-1][2]; ④

f[1][0] = 2
f[1][1] = 1
f[1][2] = 1
f[1][3] = 0

/**** 搞出这个我就很哈皮的去敲快速幂了。。。然而大牛。。。 ****/

发现f[1][1]与f[1][2]初始状态相同,而且以后迭代方程也相同,所以f[n][1] = f[n][2]
又有f[n][0] + f[n][3] = f[n][1] + f[n][2]
∵f[n][0] + f[n][1] + f[n][2] + f[n][3] = 4^n
∴f[n][0] + f[n][3] = f[n][1] + f[n][2] = 2 × 4^(n-1)
∴f[n-1][1] + f[n-1][2] = 2 × 4^(n-2)
∴f[n][0] = 2 × f[n-1][0] + f[n-1][1] + f[n-1][2] = 2 × f[n-1][0] + 2 × 4^(n-2)

我们得到:
f[n][0] = 2 × f[n-1][0] + 2^(2n-3)
f[n-1][0] = 2 × f[n-2][0] + 2^(2n-5)

f[n-m][0] = 2 × f[n-m-1][0] + 2^(2n-2m-3)

f[2][0] = 2 × f[1][0] + 2^1
f[1][0] = 2

开始一层层往下迭代:
f[n][0]
= 2 × f[n-1][0] + 2^(2n-3)
= 2^2 × f[n-2][0] + 2^(2n-4) + 2^(2n-3)

= 2^m × f[n-m][0] + 2^(2(n-m)-1+m-1) + … + 2^(2n-3)
= 2^(n-1) × f[1][0] + 2^(n-1) + 2^n +… + 2^(2n-3)
f[1][0] = 2;

∴f[n][0] = 2^n + 2^(n-1) + 2^n +… + 2^(2n-3) = 2^(2n-2) + 2^(n-1)

算法实现

Programing 公式得到了:f(n) = 2^(2n-2) + 2^(n-1)
但就这样直接编程那是不可能实现的,因为n的范围1≤N<=2^64
怎么的范围,是不能求出f(n)的。所以还得找其他规律。
因为题目只要求输出最后2位数,我们依次输出2的n的最后两位看看…
2^0  1
2^1  2
2^2  4
2^3  8
2^4  16
2^5  32
2^6  64
2^7  28
2^8  56
2^9  12
2^10  24
2^11  48
2^12  96
2^13  92
2^14  84
2^15  68
2^16  36
2^17  72
2^18  44
2^19  88
2^20  76
2^21  52
2^22  4
到了2^22时,末尾2位又变成4,与2^2一样,这时候就进入了一个循环了(每20个一次循环)。
所以,结果只能是这22个中的一个。只有n=0 和 n=1是需要特殊考虑的。其他n就等于2(n-2) %20 + 2的值了。

 

#include <iostream>using namespace std;int p2[30] = {1};int po(__int64 x){if (x>1) x = (x - 2)% 20 + 2;if (x<0) return 1;return p2[x];}int main(){for (int i=1;i<24;++i) p2[i] = (p2[i-1]<<1) % 100;int t;while (scanf("%d", &t), t){for (int i=1;i<=t;++i){__int64 n, a;scanf("%I64d", &n);a = po(2*n-2) + po(n-1);printf("Case %d: %d\n", i, a%100);}printf("\n");}return 0;}


 

 

 

 

 

 

 

 

原创粉丝点击