01背包问题总结

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一 问题描述:

     有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
    所谓01背包,表示每一个物品只有一个,要么装入,要么不装入。

二 解决方案:
   考虑使用dp问题 求解,定义一个递归式 opt[i][v] 表示前i个物品,在背包容量大小为v的情况下,最大的装载量。
     opt[i][v] = max(opt[i-1][v] , opt[i-1][v-c[i]] + w[i]) 
   解释如下:
     opt[i-1][v] 表示第i件物品不装入背包中,而opt[i-1][v-c[i]] + w[i] 表示第i件物品装入背包中。

  花费如下:
     时间复杂度为o(V * T) ,空间复杂度为o(V * T) 。 时间复杂度已经无法优化,但是空间复杂度则可以进行优化。
     但必须将V 递减的方式进行遍历,即V.......0 的方式进行。
 
三 初始化:
   (1)若要求背包必须放满,则初始如下:
        f[0] = 0 , f[1...V]表示-INF。表示当容积为0时,只接受一个容积为0的物品入包。
   (2)若要求背包可以空下,则初始化如下:
        f[0...V] = 0 ,表示任意容积的背包都有一个有效解即为0。    
   具体解释如下:
     初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。
     如果要求背包恰好装满,那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”,
     其它容量的背包均没有合法的解,属于未定义的状态,它们的值就都应该是-∞了。
     如果背包并非必须被装满,那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”,
     这个解的价值为0,所以初始时状态的值也就全部为0了。

 四 代码如下:

/* 01背包,使用了优化后的存储空间  建立数组    f[i][v] = max(f[i-1][v]  ,  f[i-1][v-c[i]] + w[i])      将前i件物品,放入容量为v的背包中的最大值。     下面介绍一个优化,使用一维数组,来表示(1) f[v]表示每一种类型的物品,在容量为v的情况下,最大值。    但是体积循环的时候,需要从v----1循环递减。       初始化问题: (1)若要求背包中不允许有剩余空间,则可以将f[0]均初始化为0,其余的f[1..n]均初始化为-INF 。     表示只有当容积为0 的时候,允许放入质量为0的物品。    而当容积不为0的情况下,不允许放入质量为0的物品,并且把状态置为未知状态。   (2)若要求背包中允许有剩余空间 ,则可以将f[1n],均初始化为0。   这样,当放不下去的时候,可以空着。                         */#include <iostream> using namespace std ;  const  int V = 1000 ;  //总的体积  const  int T = 5 ;    //物品的种类  int f[V+1] ; //#define EMPTY                                      //可以不装满  int w[T] = {8 , 10 , 4 , 5 , 5};        //价值  int c[T] = {600 , 400 , 200 , 200 , 300};        //每一个的体积  const int INF = -66536  ;    int package() { #ifdef EMPTY    for(int i = 0 ; i <= V ;i++) //条件编译,表示背包可以不存储满      f[i] = 0 ;     #else    f[0] = 0 ;    for(int i = 1 ; i <= V ;i++)//条件编译,表示背包必须全部存储满      f[i] = INF ;    #endif        for(int i = 0 ; i < T ; i++)    {      for(int v = V ; v >= c[i] ;v--) //必须全部从V递减到0         {                         f[v] = max(f[v-c[i]] + w[i] , f[v])  ; //此f[v]实质上是表示的是i-1次之前的值。         }                     }    return f[V] ;         }  int main() {         int temp = package() ;      cout<<temp<<endl     ;      system("pause")      ;   return 0 ;     } 




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