二分查找（Binary Search）

一、顺序查找（linear search）
问题描述：在一个给定的序列A[]中查找指定元素v，若查找成功则返回元素在数组中的下标，否则返回-1。

C++实现：

//简单线性查找 int linearSearch(int *a, int n, int key){    for(int i=0; i<n; i++)    {        if(a[i] == key)        {            return i;        }    }    return -1;}

(1)最好情况下，比较一次就查找成功

(2)最坏情况下，比较n次查找成功或查找失败

(3)假设数组中的n个元素以等可能的概率被查找，且待查找的数在数组中，则平均查找长度为: (n+1)/2

(4)综上，线性查找的时间复杂度为：Ο(n)

二、二分查找（binary search）

思想：当待查找序列是有序序列时， 不用像线性查找那样一个接一个的比较，我们可以把序列中点和检索值v进行比较，快速缩小比较范围，从而节省时间。
1.迭代实现

//binary search iterative implementation int binarySearch(int *a, int n, int key){    int low = 0;    int high = n-1;    int mid ;        while(low <= high)    {        mid = (low + high)/2;        if(a[mid] == key)            return mid;        else if(a[mid] < key)            low = mid + 1;        else high = mid - 1;    }    return -1;}

2.递归实现

//binary search recursive implementationint binarySearch(int *a, int low, int high, int key){    if(low <= high)    {        int mid = (low + high)/2;        if(a[mid] == key)            return mid;        else if(a[mid] < key)            return binarySearch(a,mid+1,high,key);        else            return binarySearch(a,low,mid-1,key);    }    return -1;}

算法时间复杂度分析：
(1)根据迭代算法我们可以画出查找过程的判定树，判定树的高度为lgn，也就是最多比较lgn次，因而算法的时间复杂度为Ο(lgn)
(2)由于问题的输入规模不断减半，所以递归最多lgn层，每次递归代价为常数，算法复杂度为Ο(lgn )
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补充问题：

集合S由n个整数构成，给定一个整数x，判断集合中是否存在两个数，其和为x，存在返回true，否则返回false。要求算法的时间复杂度为O(nlgn)
分析：
（1）把n个元素按非递减排序 复杂度可以达到O(nlgn),如归并排序，堆排序
（2）从第一个元素开始运用二分查找，对于元素 a[i] 检索是否存在元素x-a[i]
核心代码：

bool exist(int* a, int n){    mergeSort(a,n);    for(int i=0; i<n-1; i++)    {         if(binarySearch(a,0,n-1,x-a[i]) != -1)         {             return true;          }    }     return false;}

由于外层循环n次，循环体内的二分查找复杂度为O（lgn），该核心代码的复杂度为O（nlgn）
综上，算法总的复杂度为O（nlgn）