欧拉函数与欧拉定理
来源:互联网 发布:javascript高级程序设计 编辑:程序博客网 时间:2024/04/24 12:14
先来介绍几个与欧拉函数有关的定理:
定理一:设m与n是互素的正整数,那么
定理二:当n为奇数时,有。
因为2n是偶数,偶数与偶数一定不互素,所以只考虑2n与小于它的奇数互素的情况,则恰好就等于n的欧拉函数值。
定理三:设p是素数,a是一个正整数,那么
关于这个定理的证明用到容斥:
由于表示小于与互素数的正整数个数,所以用减去与它不互素的数的个数就行了。
那么小于与不互素数的个数就是p的倍数个数,有个。所以定理得证。
定理四:设为正整数n的素数幂分解,那么
这个定理可以根据定理一和定理三证明,其实用到的就是容斥。如果对容斥熟悉,其实完全就可以直接容斥。
定理五:设n是一个正整数,那么
这个其实可以看莫比乌斯反演就明白了。
定理六:设m是正整数,(a,m)=1,则:是同于方程的解。
定理七:如果n大于2,那么n的欧拉函数值是偶数。
求欧拉函数值:
int phi(int n){ int i,rea=n; for(i=2;i*i<=n;i++) { if(n%i==0) { rea=rea-rea/i; while(n%i==0) n/=i; } } if(n>1) rea=rea-rea/n; return rea;}
利用递推法求欧拉函数值:
算法原理:开始令i的欧拉函数值等于它本身,如果i为偶数,可以利用定理二变为求奇数的。
若p是一个正整数满足,那么p是素数,在遍历过程中如果遇到欧拉函数值等于自身的情况,那么
说明该数为素数。把这个数的欧拉函数值改变,同时也把能被该素因子整除的数改变。
void phi(){ for(int i=1; i<N; i++) p[i] = i; for(int i=2; i<N; i+=2) p[i] >>= 1; for(int i=3; i<N; i+=2) { if(p[i] == i) { for(int j=i; j<N; j+=i) p[j] = p[j] - p[j] / i; } }}
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