Big Number-大数运算

Big Number

我个人觉得「 Big Number 」这个英文辞汇，听起来一点都不学术，何况，一般来说我们只讨论整数的部分。另外还有一种称呼是「 Big Integer 」，这听起来就正式多了。

言归正传。大数就是很大的数字，大到无法以一个简单的变数型态储存这个值。

一般来说， int 这个变数型态，记忆体大小为32 bit ，可以储存数值范围为-2^31 到2^31 - 1 的整数，大约是1 后面再接九个零；而long long 这个变数型态是64 bit 的，可以储存数值范围为-2^63 到2^63 - 1 的整数。另外还有unsigned 这个关键字，它能让原本的变数型态能够存入更大一点的正整数。

虽然int 、 long long 的数值大小已经够用了，但是人的欲望是无止尽的，总是想让电脑能够处理更大的数字、算得更精准。于是大数的技术就这样产生了。

资料结构

要让电脑存放这么大的数字，有个好方法就是使用阵列。阵列有很多格子，一个格子存一个数字；只要宣告1000 格大小的int 阵列，就可以存1000 位数了！至于一个int 变数，充其量也不过十位数而已──阵列能存放的数值大小，和int 相比之下，实在是多很多很多。

 

1. struct  BigNumber
2. {
3.     int  array [ 1000 ];     //一个栏位存一个数字，可以存1000位数
4.     bool  sign ;           //正负号
5.     int  length ;          //位数
6. };

通常我们习惯将低位数放在索引值（ index ）比较小的位置，高位数放在索引值比较大的位置。假设要存放680468975231245 。

每个人对阵列的思考模式不一样，像这里就是由左至右的，另外也有人觉得阵列是由右至左、由上至下、弯弯曲曲的、……。要怎么思考都是可以的，一以贯之就好啰。

阵列右端划上横线的格子，通常我喜欢存0 进去，这样子做运算的时候会比较方便；如果将横线的部分设成-1 ，在运算时会出现点麻烦，所以我不喜欢、也不建议这么做。

大数的各种功能

设计好了资料结构之后，接下来便要开始设计大数的各种功能，例如说显示大数，以及大数的四则运算。

为了让初学者能够清楚了解大数运算的方式，以下的程式码举要治繁，而不修边幅。各位了解箇中道理之后，可以自行添加修改，让程式码更美观。

显示大数

在萤幕上印出大数可以这么做。

 

1. void  print ( int  a [ 100 ])
2. {
3.     int  i  =  100  -  1 ;             //要印的数字位置
4.     while  ( a [ i ] ==  0 )  i --;       //数字开头的零都不印
5.     while  ( i  >=  0 )  cout  <<  a [ i --];
6. }

如果这个大数有可能是零，就得加个几行程式码。

 

1. void  print ( int  a [ 100 ])
2. {
3.     int  i  =  100  -  1 ;
4.     while  ( i  >=  0  &&  a [ i ] ==  0 )  i --;
5.     
6.     if  ( i  <  0 )
7.         cout  <<  '0' ;
8.     else
9.         while  ( i  >=  0 )  cout  <<  a [ i --];
10. }

比较大小

比较哪个数字比较大。

 

1. // a > b
2. bool  largerthan ( int  a [ 100 ],  int  b [ 100 ])
3. {
4.     for  ( int  i = 100 - 1 ;  i >= 0 ;  i --)    //从高位数开始比，对应的位数相比较。
5.         if  ( a [ i ] !=  b [ i ])        //发现ab不一样大，马上回传结果。
6.             return  a [ i ] >  b [ i ];
7.     return  false ;        //完全相等
8. }

加法运算

大数的四则运算不会很困难。这里提供大数加法的粗略程式码，希望能一目了然。

 

1. // c = a + b;
2. void  add ( int  a [ 100 ],  int  b [ 100 ],  int  c[ 100 ])
3. {
4.     for  ( int  i = 0 ;  i < 100 ;  i ++)    //对应的位数相加
5.         c [ i ] =  a [ i ] +  b [ i ];
6.         
7.     for  ( int  i = 0 ;  i < 100 - 1 ;  i ++)  //一口气进位
8.     {
9.         c [ i + 1 ] +=  c [ i ] /  10 ;     //进位
10.         c [ i ] %=  10 ;              //进位后余下的数
11.     }
12. }

大数的运算有个有趣的地方，就是运算时不用立即进位，可以后来再去一口气进位。这件事情值得细想。

UVa 10035

减法运算

这里继续提供大数减法的粗略程式码。

 

1. void  sub ​​( int  a [ 100 ],  int  b [ 100 ],  int  c[ 100 ])
2. {
3.     for  ( int  i = 0 ;  i < 100 ;  i ++)
4.         c [ i ] =  a [ i ] -  b [ i ];
5.         
6.     for  ( int  i = 0 ;  i < 100 - 1 ;  i ++)  //一口气借位和补位
7.         if  ( c [ i ] <  0 )
8.         {
9.             c [ i + 1 ]--;            //借位
10.             c [ i ] +=  10 ;          //补位
11.         }
12. }

乘法运算

大数乘法的粗略程式码。我一定要强调它是粗略的。

 

1. void  mul ( int  a [ 100 ],  int  b [ 100 ],  int  c[ 100 ])
2. {
3.     for  ( int  i = 0 ;  i < 100 ;  i ++)
4.         c [ i ] =  0 ;
5.  
6.     for  ( int  i = 0 ;  i < 100 ;  i ++)
7.         for  ( int  j = 0 ;  j < 100 ;  j ++)
8.             if  ( i + j  <  100 )
9.                 c [ i + j ] +=  a [ i ] *  b [ j ];
10.                 
11.     for  ( int  i = 0 ;  i < 100 - 1 ;  i ++)  //一口气进位
12.     {
13.         c [ i + 1 ] +=  c [ i ] /  10 ;
14.         c [ i ] %=  10 ;
15.     }
16. }

至于大数乘以int 是比较容易的。

 

1. void  mul ( int  a [ 100 ],  int  b ,  int  c [ 100])
2. {
3.     for  ( int  i = 0 ;  i < 100 ;  i ++)
4.         c [ i ] =  a [ i ] *  b ;
5.                 
6.     for  ( int  i = 0 ;  i < 100 - 1 ;  i ++)  //一口气进位
7.     {
8.         c [ i + 1 ] +=  c [ i ] /  10 ;
9.         c [ i ] %=  10 ;
10.     }
11. }

UVa 338 10106

除法运算

大数除法可直接使用长除法。还满复杂的。程式码就随便写写啰！

 

1. void  div ( int  a [ 100 ],  int  b [ 100 ],  int  c[ 100 ])
2. {
3.     int  t [ 100 ];
4.     
5.     for  ( int  i = 100 - 1 ;  i >= 0 ;  i --)
6.         for  ( int  k = 9 ;  k > 0 ;  k --)  //尝试商数
7.         {
8.             mul ( b + i ,  k ,  t );
9.             if  ( largerthan ( a + i ,  t ))
10.             {
11.                 sub ( a + i ,  t ,  c + i );
12.                 break ;
13.             }
14.         }
15. }

商数范围是零到九，所以必须一一尝试。可以利用高位数相除来估计商数的范围，便不必一一尝试。这里不加说明。

至于大数除以int 是比较容易的。

 

1. void  div ( int  a [ 100 ],  int  b ,  int  c [ 100])
2. {
3.     int  r  =  0 ;
4.     for  ( int  i = 100 - 1 ;  i >= 0 ;  i --)
5.     {
6.         r  =  r  *  10  +  a [ i ];
7.         c [ i ] =  r  /  b ;
8.         r  %=  b ;
9.     }
10. }

开平方根运算

大数开平方根可利用直式开方法。【待补文字】

UVa 10023

改进资料结构

一个栏位只存一个数字有点浪费。

int 的范围约为十位数字，一个栏位其实能够存入九个位数的。一个栏位可存九个位数，那么1000 格的阵列，便可从原来的1000 位数，摇身一变成为9000 位数；一个栏位可存九个位数，若要表示1000 位数，只需要112 格的阵列就可以了。这个新想法，相当的节省空间，运算次数也会随之减少。

不过，如果一个栏位存了很多位数，会对运算造成什么影响呢？

从最简单的加法、乘法开始思考好了：

首先，进位会受影响。如果一个栏位存了两位数字，那么做进位时，要每到100 才能进位。

第二，进位后会溢位（ overflow ）吗？进位会让隔壁的栏位增加一些数字。如果隔壁的栏位原本就有一个很大的数字，那么它加上进位的数值之后，会不会产生溢位？

第三，乘法是将某两个栏位相乘，加到另一个栏位上。两个栏位相乘，如果他们各是8 位数，相乘之后至少也有15 位数，这远超过int 的上限了，怎么可能存进一个int 之中呢？

或许还会有很多的问题需要考虑。

虽然问题重重，但是也并不代表一个栏位还是只能存一个数字吧？一个栏位存个两三位，应该不成问题吧？这些问题就留给大家思考，在此不加赘述。

UVa 288 10220 10814 10925 748

GMP

GMP 是一个C/C++ 大数运算函式库，相当实用，读者可上网搜寻之。