BZOJ 1951: [Sdoi2010]古代猪文（Lucas定理 ＆＆中国剩余定理＆＆费马小定理）

1951: [Sdoi2010]古代猪文

求G^Sigma{C(N, i),i | N} mod M的值，其中M = 999911659。
M是一个素数，故根据费马小定理G^(M - 1) ≡ 1 (mod M)。
则 G^Sigma{C(N, i),i | N} ≡ G^(Sigma{C(N, i),i | N} mod (M-1)) ≡ G^Sigma{C(N, i) mod (M-1),i | N} (mod M)。

于是我们只需求 C(N, K) mod (M - 1) 然后累加即可。


注意到 ：M - 1 = 2 * 3 * 4679 * 35617。 
于是我们可以得到
P ≡ a1 (mod 2)
P ≡ a2 (mod 3)
P ≡ a3 (mod 4679)
P ≡ a4 (mod 35617)
求得a1,a2,a3,a4后通过中国剩余定理合并即可。


欲求a1,a2,a3,a4我们只需求 C(N, K) mod P (P为素数)(n,k<= 10^10) 
n,k很大，我们可以通过lucas定理解决这一问题
calc(n,m,p) = C(n%p,m%p) * calc(n/p,m/p,p);
之后C(n,m)直接通过预处理阶乘 +　乘法逆元解决;
另外 ：当G == M 时 飞马小定理不成立 要输出 0; 

#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <iostream>#include <assert.h>using namespace std;typedef long long lint;lint P,n,g;lint a[10] = {2,3,4679,35617};lint fac[40000];inline lint pow(lint x,lint y,lint p){lint res(1);x %= p;while(y){if(y&1) res = (res*x)%p;x = (x*x)%p;y >>= 1;}return res%p;}inline lint C(lint n,lint m,lint p){if(m > n) return 0;if(!m) return 1;lint res(1);res = res * fac[n] % p;res = res * pow(fac[m]*fac[n-m]%p,p-2,p) % p;return res;}inline lint calc(lint n,lint m,lint p){if(m > n) return 0;if(m == 0 || m == n) return 1;return calc(n/p,m/p,p)*C(n%p,m%p,p)%p;}inline lint get_ans(lint n,lint m){lint res(0);for(lint i = 0; i < 4; i++)res = (res + (P/a[i])*pow(P/a[i],a[i]-2,P)%P*calc(n,m,a[i])%P)%P;return (res%P+P)%P;}inline lint solve(){if(g%(P+1) == 0) return 0;lint pw = 0;for(lint i = 1; i * i <= n; i++)if(n%i == 0){if(i * i == n)pw = (pw + get_ans(n,i))%P;else pw = (pw + get_ans(n,i) + get_ans(n,n/i))%P;}return pow(g,pw,P+1);}int main(){P = 999911658;fac[0] = 1;for(lint i = 1; i <= a[3]; i++)fac[i] = fac[i-1] * i % P; cin>>n>>g;cout<<solve()<<endl;return 0;}