最大连续子序列和

最大连续子序列和问题是个很老的面试题了，最佳的解法是O(N)复杂度，当然其中的一些小的地方还是有些值得注意的地方的。这里还是总结三种常见的解法，重点关注最后一种O(N)的解法即可。需要注意的是有些题目中的最大连续子序列和如果为负，则返回0；而本题目中的最大连续子序列和并不返回0，如果是全为负数，则返回最大的负数即可。

问题描述

求取数组中最大连续子序列和，例如给定数组为A={1， 3， -2， 4， -5}， 则最大连续子序列和为6，即1+3+（-2）+ 4 = 6。

 

解法1—O(N^2)解法

因为最大连续子序列和只可能从数组0到n-1中某个位置开始，我们可以遍历0到n-1个位置，计算由这个位置开始的所有连续子序列和中的最大值。最终求出最大值即可。

更详细的讲，就是计算从位置0开始的最大连续子序列和，从位置1开始的最大连续子序列和。。。直到从位置n-1开始的最大连续子序列和，最后求出所有这些连续子序列和中的最大值就是答案。

 解法2—O（NlgN）解法

该问题还可以通过分治法来求解，最大连续子序列和要么出现在数组左半部分，要么出现在数组右半部分，要么横跨左右两半部分。因此求出这三种情况下的最大值就可以得到最大连续子序列和。

解法3—O（N）解法

还有一种更好的解法，只需要O（N）的时间。因为最大 连续子序列和只可能是以位置0～n-1中某个位置结尾。当遍历到第i个元素时，判断在它前面的连续子序列和是否大于0，如果大于0，则以位置i结尾的最大连续子序列和为元素i和前面的连续子序列和相加；否则，则以位置i结尾的最大连续子序列和为元素i。

参考 http://blog.csdn.net/ssjhust123/article/details/8032464

例题:

题目描述：

    给定K个整数的序列{ N1, N2, ..., NK }，其任意连续子序列可表示为{ Ni, Ni+1, ..., Nj }，其中 1 <= i <= j <= K。最大连续子序列是所有连续子序列中元素和最大的一个，例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其最大连续子序列为{ 11, -4, 13 }，最大和为20。现在增加一个要求，即还需要输出该子序列的第一个和最后一个元素。

输入：

    测试输入包含若干测试用例，每个测试用例占2行，第1行给出正整数K( K< 10000 )，第2行给出K个整数，中间用空格分隔。当K为0时，输入结束，该用例不被处理。

输出：

    对每个测试用例，在1行里输出最大和、最大连续子序列的第一个和最后一个元素，中间用空格分隔。如果最大连续子序列不唯一，则输出序号i和j最小的那个（如输入样例的第2、3组）。若所有K个元素都是负数，则定义其最大和为0，输出整个序列的首尾元素。

样例输入：

6-2 11 -4 13 -5 -210-10 1 2 3 4 -5 -23 3 7 -2165 -8 3 2 5 01103-1 -5 -23-1 0 -20

样例输出：

20 11 1310 1 410 3 510 10 100 -1 -20 0 0

http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1011

AC code:

#define RUN#ifdef RUN/**http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1011*/#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#include <assert.h>#include <string>#include <iostream>#include <sstream>#include <map>#include <set>#include <vector>#include <list>#include <cctype> #include <algorithm>#include <utility>#include <math.h>using namespace std;#define MAXN 10001int buf[MAXN];//O(n2)void maxsequence(int n){int max_ = buf[0];int max_start = buf[0];int max_end = buf[0];for(int i=0; i<n; i++){int sum_ = 0;for(int j=i; j<n; j++){sum_ += buf[j];if(sum_ > max_){max_ = sum_;max_start = buf[i];max_end = buf[j];}}}printf("%d %d %d\n", max_, max_start, max_end);}/*求三个数最大值*/ int max3(int i, int j, int k){int max_ = i;if(j > max_){max_ = j;}if(k > max_){max_ = k;}return max_;}int maxsequence2(int a[], int l, int u){if(l > u){return 0;}if(l == u){return a[0];}int m = (l+u)/2;// 求横跨左右的最大连续子序列左半部分int lmax = a[m], lsum = 0;for(int i=m; i>=0; i--){lsum += a[i];if(lsum > lmax){lmax = lsum;}}/*求横跨左右的最大连续子序列右半部分*/ int rmax = a[m+1], rsum = 0;for(int i=m+1; i<=u; i++){rsum += a[i];if(rsum > rmax){rmax = rsum;}}return max3(lmax+rmax, maxsequence2(a, 0, m), maxsequence2(a, m+1, u));}void maxsequence3(int a[], int len)  {int maxsum, maxhere;  maxsum = maxhere = a[0];   //初始化最大和为a[0]  int max_start = buf[0];int max_end = buf[0];int tmp = buf[0];for (int i=1; i<len; i++) {if (maxhere < 0){maxhere = a[i];  //如果前面位置最大连续子序列和小于等于0，则以当前位置i结尾的最大连续子序列和为a[i]tmp = a[i];}else{maxhere += a[i]; //如果前面位置最大连续子序列和大于0，则以当前位置i结尾的最大连续子序列和为它们两者之和  }if (maxhere > maxsum) {  maxsum = maxhere;  //更新最大连续子序列和max_start = tmp;max_end = a[i];}  }printf("%d %d %d\n", maxsum, max_start, max_end);}int main(){#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("1011.in", "r", stdin);freopen("1011.out", "w", stdout); #endifint n;while(scanf("%d", &n)==1 && n!=0){memset(buf, 0, sizeof(buf));for(int i=0; i<n; i++){scanf("%d", &buf[i]);}//maxsequence(n);//printf("%d\n", maxsequence2(buf, 0, n-1));maxsequence3(buf, n);}}#endif

对于解法2仍存在问题，待解决。解法一和三顺利AC