柯西序列

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简介

定义

部分性质

编辑本段简介

在数学中，一个柯西列是指一个这样一个序列，它的元素随着序数的增加而愈发靠近。更确切地说，在去掉有限个元素后，可以使得余下的元素中任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正的常数。柯西列是以数学家奥古斯丁·路易·柯西的名字命名的。

柯西列的定义依赖于距离的定义，所以只有在度量空间(metric space)中柯西列才有意义。在更一般的一致空间(uniform space)中，可以定义更为抽象的柯西滤子(Cauchy filter)和柯西网(Cauchy net)。

一个重要性质是，在完备空间（complete space）中，所有的柯西列都有极限，这就让人们可以在不求出这个极限（如果存在）的情况下，利用柯西列的判别法则证明该极限是存在的。柯西列在构造具有完备性的代数结构的过程中也有重要价值，如构造实数。

编辑本段定义

设{xn}是距离空间X中的点列，如果对于任意的ε>0，存在自然数N，当m,n>N时，d(xm,xn)<

ε，称{xn}是一个Cauchy列。

编辑本段部分性质

1.对于在某度量空间内的柯西序列，它的极限不一定在相同的度量空间内。如有理柯西序列可导出无理极限。（事实上，一种实数构造就是用这种方法）

2.任何收敛列必然是柯西列，任何柯西列必然是有界序列。

转帖：两个圈圈搞定Cauchy序列和一致收敛

 (2010-09-30 23:24:50)

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极限和连续性是研究微积分的基础，为了研究迭代的收敛性和映射的连续性，在线性空间中引入了范数和距离的概念，将线性空间发展到了赋范空间和度量空间。

 

在度量空间中如何考察一个序列是否收敛，有两种途径

 

其一是如经典数学中做的那样，不妨叫做一致收敛性，它先假定这个序列有个极限，通过研究序列元素与该极限之间的距离变化来考察序列是否收敛。

 

以这个假想的极限为中心划一个圈圈，不管这个圈圈多么小，如果总能找到一个时刻，使得其后序列中的元素都落在这个圈圈以内，那么这个序列是收敛的。

 

实际应用时，这个准则的弱点是很明显的。要应用这个准则，首先必须知道这个确定的极限是多少。但是，如果迭代是为了计算某个数，那么问题正是事先不知道那个数是多少，而要依靠迭代本身来得到此极限的近似值。更实用的，我们需要的准则能指出一个序列是否趋于某个极限。

 

这个准则是Cauchy准则。它的想法是，如果序列逐渐接近某个极限，那么这个序列中的元素也必然彼此逐渐接近。

 

Cauchy准则的做法是，先给出一个圈圈，不管这个圈圈多么小，如果总能在序列中找到一个元素，把圈圈的中心放在这个元素上，使得该元素后面的所有元素都落在这个圈圈之内，那么该序列必然收敛。

 

我们可以这样比较这两个准则：

前一个圈圈是中心固定的，它要找到圈圈最先套住的序列中的那个元素。

后一个圈圈的中心是不固定的，它是我们要寻找的，如果能找到这样的中心，那么序列是收敛的。

 

无疑Cauchy准则是更实用的，这个方法就是传统数学中的区间套法。问题是，如此套下去，果真能够套到一个极限吗？换言之，序列收敛可能是没问题的，但所收敛到的极限是不是在这个空间中？这就涉及到空间是否完备的问题了。

完备空间

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完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。以有限维空间来说，向量的范数相当于向量的模的长度。但是在有限维欧式空间中还有一个很重要的概念—向量的夹角，特别是两个向量的正交。内积空间是特殊的线性赋范空间，在这类空间中可以引入正交的概念以及投影的概念，从而在内积空间中建立起相应的几何学。用内积导出的范数来定义距离，Banach空间就成为了希尔伯特空间。

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例子

直观理解

相关定理

完备化

相关概念

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[1]引用

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编辑本段例子

有理数空间不是完备的，因为√2的有限位小数表示是一个柯西序列，但是其极限√2不在有理数空间内。 实数空间是完备的 开区间(0,1)不是完备的。序列(1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...)是柯西序列但其不收敛到任何(0, 1)中的点，令S为任一集合，S为S中的所有序列，定义S上序列(xn)和(yn)的距离为1/N，其中若的最小索引存在则N为该索引否则N为0。按此方式定义的度量空间是完备的。该空间同胚于离散空间S的可数个副本的积。

在数学及其相关领域中，一个对象具有完备性，即它不需要添加任何其他元素，这个对象也可称为完备的或完全的。更精确地，可以从多个不同的角度来描述这个定义，同时可以引入完备化这个概念。但是在不同的领域中，“完备”也有不同的含义，特别是在某些领域中，“完备化”的过程并不称为“完备化”，另有其他的表述，请参考代数闭域、紧化(compactification)或哥德尔不完备定理。

编辑本段直观理解

直观上讲，一个空间完备就是指“没有孔”且“不缺皮”，两者都是某种“不缺点”。没有孔是指内部不缺点，不缺皮是指边界上不缺点。从这一点上讲，一个空间完备同一个集合的闭包是类似的。这一类似还体现在以下定理中：完备空间的闭子集是完备的。

编辑本段相关定理

任一紧致度量空间都是完备的。实际上，一个度量空间是紧致的当且仅当该空间是完备且完全有界的。 完备空间的任一子空间是完备的当且仅当它是一个闭子集。 若X为一集合，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的有界函数f的集合B(X, M)是一个完备度量空间，其中集合B(X, M)中的距离定义为： 若X为一拓扑空间，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的连续有界函数f的集合Cb(X,M)是B(X, M)（按上一条目的定义）中的闭子集，因而也是完备的。 贝尔纲定理：任一完备度量空间为一贝尔空间。就是说，该空间的可数个无处稠密子集的并集无内点。

编辑本段完备化

定义

对任一度量空间M，我们可以构造相应的完备度量空间M' （或者表示为），使得原度量空间成为新的完备度量空间的稠密子空间。M' 具备以下普适性质：若N为任一完备度量空间，f为任一从M到N的一致连续函数，则存在唯一的从M' 到N的一致连续函数f' 使得该函数为f的扩展。新构造的完备度量空间M' 在等距同构意义下由该性质所唯一决定，称为M的完备化空间。

以上定义是基于M是M'的稠密子空间的概念。我们还可以将完备化空间定义为包含M的最小完备度量空间。可以证明，这样定义的完备化空间存在，唯一（在等距同构意义下），且与上述定义等价。

对于交换环及于其上的模，同样可以定义相对于一个理想的完备性及完备化。详见条目完备化 (环论)。

构造

类似于从有理数域出发定义无理数的方法，我们可以通过柯西序列给原空间添加元素使其完备。

对M中的任意两个柯西序列x=(xn) 和 y=(yn)，我们可以定义它们间的距离： d(x,y) = limn d(xn,yn)（实数域完备所以该极限存在）。按此方式定义的度量还只是伪度量，这是因为不同的柯西序列均可收敛到0。但我们可以象很多情况中所做的一样（比如从L到），将新的度量空间定义为所有柯西序列的集合上的等价类的集合，其中等价类是基于距离为0的关系（易于验证该关系是等价关系）。这样，令ξx = {y 是M上的柯西序列：}，M' ={ξx：x ∈ M}，原空间M就以xξx的映射方式嵌入到新的完备度量空间M' 中。易于验证，M等距同构于M' 的稠密子空间。

康托法构造实数是该完备化方法的一个特例：实数域是有理数域作为以通常的差的绝对值为距离的度量空间的完备化空间。

性质

康托尔的实数建构是上述构造的特例；此时实数集可表为有理数集对绝对值的完备化。倘若在有理数集上另取其它的绝对值，得到的完备空间则为p进数。

若将上述流程施于赋范向量空间，可得到一个巴拿赫空间，原空间是其中的稠密子空间。若施于一个内积空间，得到的则是希尔伯特空间，原空间依然是其稠密子空间。

编辑本段相关概念

完备与闭： 前面讲，完备类似于闭，那么，“完备”与“闭”的区别在何处呢？它们的区别在于，完备是空间或集合的性质，而闭是子集的性质。通常我们说某个集合是闭集或开集，实际上是指该集合是R或某个拓扑空间的闭子集或开子集。例如，开区间(0, 1)是全集(0, 1)或的闭子集，因为(0, 1)在这两个全集中的导集是其自身。但(0, 1)是R的开子集。闭子集可以用收敛序列定义，因为收敛序列的极限点总是在全集中的，极限点在子集中与否决定该子集是否为闭子集。与此相对，完备性的定义中没有全集的概念，这也是为什么在其定义中必须用柯西序列而不能用收敛序列，因为在收敛序列的定义中必有极限点，若该极限点不在度量空间中，则收敛序列中的点到该极限点距离是未定义的。

编辑本段参见

数学分析术语

幾何不變性的簡單討論

2012-03-20 04:31 804人阅读 评论(0) 收藏 举报

首先介紹度量空間 ( Metric space )。 度量空是一個在內部元素間定義了“距離”的集合。度量空間的歷史可以追溯到歐幾里德時期。歐幾里德是古希臘數學家，寫過一本叫 《Euclid's Elements》 的著作。這個名字直譯過來是”歐幾里德原本”，徐光啟譯作《幾何原本》並應用到現在，這也是“幾何”一詞的由來。

《幾何原本》是影響歐洲現代文明的兩個代表作之一（另一個是《聖經》）。這本書引入了公理系統，即假設一些不證自明的，簡單的、沒有矛盾的公理，其餘所有的數學的理論都由這些公理產生。歐幾里德的公理系統全部編排到名為“二維歐幾里德空間”和“三維歐幾里德空間”的抽象空間中。

“空間”是一個有特殊性質和額外結構的集合。在歐幾里德空間中定義有點和運算，例如，向量就是點，加法就等於平移。在歐幾里德空間裡的距離則使用歐幾里德度量。三維空間的度量如下：

d(x,y)=sqrt( (x1-y1)^2 + (x2-y2)^2 +(x3-y3)^2) = x^Ty = x . y

現在考慮圖形學中常用的空間變換。假如要把一個圖形由歐幾里德空間A變換到空間B中,為了保持幾何不變性(Geometric Invariant)，必須保持相同的度量，也就是說，在A中任取不同位置的兩點，分別映射到空間B中，它們的距離應該不變。

確切地說，幾何不變性是指圖形的參數不依賴於坐標軸的選取，不管怎樣平移或旋轉其幾何形狀都不變。

假設歐氏空間A中任意點為Pa、Qa，空間B中對應的點為Pb，Qb，映射為T，有

Pb = T . Pa

Qb = T . Qa

如果在空間A和B中這兩點的距離相等，那麼都可以通過平移和旋轉實現對應。因為歐幾里德空間的距離等於內積，所以令

Pb^T . Qb=(T . Pa)^T . T . Qa

Pb^T . Qb=Pa^T . (T^T . T) . Qa

這就是保持幾何不變性的等價關係。(^T表示转置， .表示点乘)

上式S = (T^T . T)為B空間的測度矩陣，如果是個單位陣，說明B空間相對於A空間坐標軸並沒有平移（可能有旋转）。

如果變換只涉及旋轉，那麼T就是旋轉矩陣，根據旋轉矩陣逆等於轉置的條件，S一定是個單位陣，這也形象說明了上述結論。把T化為無窮小變換的反對稱矩陣A的形式

T= I + epsilon . A

S = I + epsilon . (A^T + A) + epsilon^2 . A^T . A

忽略二次項，可以看到，因為A是反對稱矩陣，所以一次項也為零。這也證明了旋轉不改變幾何不變性。

參考資料

wikipedia.org