生肖迷宫之如何辨别福娃衰娃

【问题描述】

这道题我借鉴了12个乒乓球问题，但解法更有意思，有11个福娃和1个衰娃，福娃吃蛋糕速度相同，衰娃不一样，用多少蛋糕把这个衰娃找出来？

（提示：为避免多余的问题，我先澄清一下：蛋糕大小相同，福娃衰娃吃速相差小于1%，肉眼难以分辨吃速，但可以准确看出哪个蛋糕先吃完、后吃完或同时吃玩，可以命令娃们开始吃和停止吃，没有表，当然可以把蛋糕掰成两半，但没有天平，不能保证两半完全相等，只能近似相等。答案5个蛋糕是给高手做的，答案4个蛋糕是给高高手的。）

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这道题是生肖迷宫出的题目，我在研究称12个小球问题原理的时候发现了这个题，就顺便研究了一下，然后给出一个答案，不知道这个答案是否出题者心中的答案，但至少个人认为，这个答案能够言之有理。

对于求解这类智力题，个人最鄙视瞎凑的，没有理论的瞎凑，即使得到结果，也不值得高兴，因为这次你得到结果，下次可能不能灵光一现，就得不到结果，不能有稳定的发挥，可能在关键时刻掉链子，误了自己大事。所以个人认为，做这种智力题的态度，是找到解题规则，按照这个规则来，完全否认智力在其中的作用，终极目标是，当知道解题原理与规则后，让一个学过数学四则运算的小学生来做，也能解出需要IQ达到200的人才能做出的题目。闲话少扯，言归正传！

========问题分析及原理===================================

这个问题与用天平秤12个小球的问题有两个本质的不同，个人认为，要使自己对这个问题有思路，就需要对这两个本质不同有一定的理解。

第一个不同之处：天平称物体，只能有三种状态，左边重，右边重以及左右平衡，它的本质是一个平衡三叉数。但是福娃吃蛋糕问题，却不止可以有三种状态，如果【情况A】一群福娃分为两堆，分别吃两个蛋糕，则只有三种状态。但是蛋糕可以大家一起吃，于是有【情况B}三组福娃（包括衰娃）分别吃三个蛋糕，在只有一个衰娃的情况下会有七种状态。

大家记住，在求解这类问题时，状态数目非常重要。这类问题如果究其本质，都是一个N叉数，然后在某种策略下，使得树的高度最小。一般而言，总的可能数是一定的，比如这个问题，总共24种可能，对12个福娃+衰娃进行编号，则24种可能分别为【1号为衰娃且吃的快】，【1号为衰娃且吃的慢】，【2号为衰娃且吃的快】，【2号为衰娃且吃的慢】，……【12号为衰娃且吃的快】，【12号为衰娃且吃的慢】。

每种状态对应于树的一个分支。上面分析的，两个蛋糕的时候有三种状态，相当于每个蛋糕平均1.5个状态，如果是三个蛋糕，则对应七种状态，则每个蛋糕对应7/3中状态，由于总的可能数是一定的，因此，分支越多，则树的高度就越小(这个树是经过设计的平衡N叉树)。所以，【情况B】比【情况A】“划算”一些。如果三个蛋糕一起吃，比两个蛋糕一起吃“划算”，那四个蛋糕一起吃，是不是更加划算？

我们再分析【情况C】四组福娃分别吃四个蛋糕，但经过分析，状态却只有9中，明显达不到要求啊。因为题目说了，四个蛋糕就可以解决问题，也就是只有这么一次吃四个蛋糕的机会，则我们需要状态达到24种才能满足要求，现在只有9种状态，明显不够啊，如何处理？这就需要用到第二个和称球问题的本质不同之处：

第二个不同之处：天平称球过程是一个瞬时的过程，但是福娃吃蛋糕是一个有过程的，也就是福娃们需要一段时间才能将蛋糕吃完。需要一段时间又能怎么样？这样就隐藏着一个可能性，就是让福娃吃一段时间后，再将其调换到另一块蛋糕上。

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于是就有了以下答案：

首先将12个福娃分为4组，每组有三个，分别编号命名如下：

蛋糕1

蛋糕2

蛋糕3

蛋糕4

1,2,3

4,5,6

7,8,9

10,11,12

然后等几个福娃将蛋糕吃的差不多还剩一点的时候，将他们调换顺序，调换成如下

蛋糕1

蛋糕2

蛋糕3

蛋糕4

4,7,10

1,8,11

2,5,12

3,6,9

然后我们可以得到一个吃完的先后顺序。

然后，四个蛋糕中，其中有两个是一起吃完的，另两个不一起吃完。我们以一起吃完的两个蛋糕是蛋糕1和蛋糕2为例进行说明，其余情况和这个情况是一样的，大家自行分析，则编号为1,2,3,4,5,6,7,8,10,11这九个娃为福娃，衰娃一定在编号为9,12的两个福娃中。

剩余两个不是一起吃完的蛋糕，是蛋糕3和蛋糕4。如果蛋糕3和蛋糕4是在蛋糕1与2之前吃完，则表示衰娃比福娃吃的速度快；如果蛋糕3和蛋糕4是在蛋糕1与2之后吃完，则表示衰娃比福娃吃的速度慢。

我们以衰娃吃的比福娃快来分析，此时，蛋糕3和4在蛋糕1与2之前吃完，同时，蛋糕3和蛋糕4也不是一起吃完的，如果蛋糕3先被吃完，则表示开始在蛋糕3上，后来跑的蛋糕4上的那个娃是衰娃，也就是9号是衰娃，如果蛋糕4先倍吃完，则表示开始在蛋糕4上，后来跑到蛋糕3上的那个娃是衰娃，也就是12号为衰娃。

如果衰娃比福娃吃的慢，情况正好相反，如果蛋糕3先被吃完，则表示开始在蛋糕4上，后来跑的蛋糕3上的那个娃是衰娃，也就是12号是衰娃，如果蛋糕4先倍吃完，则表示开始在蛋糕3上，后来跑到蛋糕4上的那个娃是衰娃，也就是9号为衰娃。

OK，解答完毕。