过桥问题

来源:互联网 发布:2013年人口普查数据 编辑:程序博客网 时间:2024/03/28 20:40

在漆黑的夜里,四位旅行者来到了一座狭窄而且没有护栏的桥边。如果不借助手电筒的话,大家是无论如何也不敢过桥去的。不幸的是,四个人一共只带了一只手电筒,而桥窄得只够让两个人同时过。如果各自单独过桥的话,四人所需要的时间分别是1、2、5、8分钟;而如果两人同时过桥,所需要的时间就是走得比较慢的那个人单独行动时所需的时间。问题是,如何设计一个方案,让这四人尽快过桥。

    过桥问题详细的描述与解决方案请阅读《过桥问题——经典智力题推而广之五》,共7个小节,作者讲述的非常细致。

    结论我给再叙述一下:

以下是构造N个人(N >= 1)过桥最佳方案的方法:

1)如果N=1或者N=2,所有人直接过桥。

2)如果N=3,由最快的人往返一次把其他两人送过河。

3)如果N>=4,设A,B为走的最快的和次快的旅行者,过桥所需时间分别为a,b;而Z,Y为走得最慢的和次慢的旅行者,过桥所需时间分别为z,y。那么

当2b>a+y时,使用模式一将Z和Y移动过桥

当2b<a+y时,使用模式二将Z和Y移动过桥

当2b=a+y时,使用模式一或者模式二将Z和Y移动过桥。

这样问题就变成了N-2个旅行者的情形,递归解决即可。

注:这里的模式1指的是A将Z送过桥,然后返回,再把Y送过桥,再返回;模式2指的是A和B先过桥,然后A返回,Y和Z过桥,然后B返回


再结合下面理解:

现在假设n个人的过河时间已经从小到大排好序用数列 a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,... , an ;
当(n <= 2) ans = a[n] ;
当(n > 2) 时:
(1) n 是偶数 
a3 ,a4 怎么过 
肯定是a1 , a2 先过去再a1回来。 
(a)a1和a3 一起过,再a1回来和a4一起过 。
总时间 time1 = a1 + a3 + a1 + a4 ;
(b)a3和a4一起过再a2回来和a1一起过。
总时间 time2 =a1 + a4 + a2 + a2 ;
time = min(time1 , time2) ;
(2) n 是奇数两两一起过会有一个人打单。
现在的问题是a3打单还是an。
现在假设 n = 5 .
a5打单 time1 = min((a1 + a4 + a2 + a2 ) ,(a1 + a3 + a1 + a4) ) + a1 + a5 
a3打单 time2 = min((a1 + a5 + a2 + a2 ) , (a1 + a4 + a1 + a5)) + a1 + a3 ; 
比较time1 和 time2 
当 time1 = a1 + a1 + a2 + a2 + a4 + a5 ;
teim2 = a1 + a1 + a2 + a2 + a3 + a5 ;
所以a3打单好。
得出要从后面开始 。

1. pku 1700 Crossing River (pku 3404 Bridge over a rough river)

就是最朴素的过桥问题,问最少所需时间

2. pku 2573 Bridge

在1的基础上加上过桥所需要的步骤

3. zju 1579 Bridge 

这里要用long long 真恶

4. hit 2540 Only One Boat

这个题目是过桥问题的变种,题目的意思就是有N队夫妻,现在要过河,但是只有一条船,并且船每次只能载两个人。要求每一个妻子不能在丈夫不在的情况下与其他男人在一起,无论是船上还是岸上都不可以。问最少的次数使得所有人过河,并打印具体的步骤(spj)。

这个问题最少次数其实是固定的,不难推出如果有n队夫妻,那么全部过河的最少次数是5*n-3。(这个原因我请教了这个题目的作者,他的意思是最优的策略一定是两个人坐船去彼岸,一个人坐船回此岸。因此最少次数是一定的)。知道了最少次数如何去打印具体步骤了,其实我们从样例中3队夫妻的说明中可以得到一些启发,就是说经过若干步之后可以使得一对夫妻"Leave"。 例如3队夫妻的时候,标号为1,2为第一对夫妻(奇数为男,偶数为女,下同),标号为3,4为第二对夫妻,标号为5,6为第三对夫妻。那么由2,4首先坐船来到彼岸,然后2回去,2和6再来到彼岸回去,然后6回去,让1,3过来,然后1和2离开,3回头,3和5再过去,3和4离开,5回头,5和6过河并离开。 现在转换到n个人的情形。如果n=1或者2,那么很容易就能找到方案了,因此下面的情况针对n>=3的情况,我们可以先让2n和2n-2过河,然后2n回来。(注:这个时候所形成的局面是此岸有n-1对夫妻和一个丈夫,彼岸有一个该丈夫的妻子)。下面2n和2n-4过河,然后2n-4回来,2n-1和2n-3过河,2n和2n-1 离开,2n-3返回。(注:这个时候的局面是此案有n-2对夫妻和一个丈夫,彼岸有一个该丈夫的妻子)。可以看出这是一个递归的过程。下面实现就简单了。

5. zju 2288 Across the River

题目大意: n个男生和m个女生过河.只有一只船,船每次最多装k人且满足如下条件:

任何时候岸边(包括此岸和彼岸)和船上要么没女生.否则女生不比男生少,问最少要渡几次才能使得所有人渡河完毕。

这个题目如果没有说要求彼岸也满足这个要求(即女生不比男生少,或者没有女生),我们可以利用贪心算法解决。

可以总是先把男生给送到彼岸,然后剩下来的部分都是尽量在满足条件的情况下把男生往船上放,然后每次把船从彼岸送回来的人最好是女生。这样可以使得结果次数最少。

但是现在要求的是此案和彼岸都必须满足条件,这样的话我们就只能bfs搜了。数据量不算大。


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