欧拉回路与欧拉道路

欧拉回路与欧拉道路

      

图G的一个回路，若它恰通过G中每条边一次,则称该回路为欧拉(Euler)回路。

如果一个图只是形成一个连通所有节点的链，且每一点只走一次，则成为欧拉道路。

具有欧拉回路或欧拉道路的图称为欧拉图（简称E图）。

有向图的欧拉回路

一个有向图存在欧拉回路的前提条件是这个图是个连通图，其次要求其每个点的入度等于出度，或者其中有一个点的出度比入度大1，另一个点的入度比出度大一这样就存在一条欧拉回路。

如果其每个点的入度等于出度则从任意一点出发，可以走出一条欧拉回路，如果是第二种情况，则必须从出度大于入度 1 的点出发到入度大于出度 1 的点结束，走出一条欧拉道路。

无向图的欧拉回路

跟有向图一样，首先必须连通，其次如果最多只有两个奇点。则满足欧拉回路或欧拉道路，有奇点就从任意一个奇点出发找科形成一条欧拉道路，否则从任意一点出发都能找出欧拉回路。（注意：百度百科上是错的）

如果只是判断一个图是否能够形成欧拉回路的话，就用上面的思路：

首先根据出度跟入度的关系，判断是否满足要求

然后用判断图的连通性可以用并查集或者Dfs如果要求路径的话可以用Dfs

要是需要求出欧拉路径，就用下面这个函数。

下面这个程序，是通过遍历一个图来求其欧拉回路或欧拉道路的。如果需要打印欧拉道路，在主程序中调用，参数必须是道路的起点，另外说明的是，这样打印出来是逆序的，因此在使用的时候，应该用栈压入栈中，还有就是其对无向图和有向图遍历都有用。其实这个算法跟最小生成树prim里面每次求连接上一边最小权值的边算法一样，这个只是那个算法的一个简化。可根据那个进行理解。

void euler(int u){    for(int v=0;v<n;v++)    {        if(map[u][v] && !vis[u][v])        {            vis[u][v] = vis[v][u] = 1;//如果是有向图的只需判断一个            euler(v);            printf("%d %d\n",u,v);        }    }}

uva10054 - The Necklace

这个题题意很容易理解，一个链子断了，链子上的珠子两边分别有两个值，要把所有珠子链起来的话任意两个相邻的珠子的值必须相等才行，另外要说的是第二组数据是一组很好的数据。可根据其推出是用无向图，首先判断是否满足每个点都是偶点（因为是回路，不是道路）。然后利用上面欧拉代码遍历输出即可。

#include <cstdio>#include <cstring>#include <stack>#define Max 60using namespace std;int map[Max][Max];int in[Max];struct E{ int u, v; } tmp;stack <E> st;void euler( int u ){    for ( int v = 1; v < n; ++v ) if ( map[u][v] )    {        map[u][v]--; map[v][u] = map[u][v];        euler( v );        tmp.u = u, tmp.v = v;        st.push(tmp);    }}int main(){    int n,T,a,b;    scanf("%d",&T);    for(int cas=1;cas<=T;cas++)    {        scanf("%d",&n);        memset(map,0,sizeof(map));        memset(in,0,sizeof(in));        //memset(out,0,sizeof(out));        for(int i=0;i<n;i++)        {            scanf("%d%d",&a,&b);            ++in[a];++in[b];            ++map[a][b];            map[b][a]=map[a][b];        }        bool ok=true;        for(int i=0;i<=50;i++)        {            if(in[i]%2)                ok=false;        }        printf("Case #%d\n",cas);        if(!ok)        printf("some beads may be lost\n");        else        {            euler(a);            while ( !st.empty() ) {                tmp = st.top(); st.pop();                printf("%d %d\n", tmp.u, tmp.v);            }        }        printf("\n");    }    return 0;}

UVA10129 - Play on Words 这道题题意是给出n个单词，让每个点此的首字母指向未字母形成连通，这样形成一个有向图，求这个有向图的欧拉回路。

思想就是：首先读入图，然后根据出度和入度判断是否满足，单手Dfs判断连通性。

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<math.h>int visit[26],a[26][26];void dfs(int x){    int i;    visit[x]=0;    for (i=0;i<26;i++)    if ((visit[i]==1)&&(a[x][i]==1)) dfs(i);}int main(){    int f,t,k1,k2,num,n,i,j,l,in[26],out[26];    char s[1010];    scanf("%d",&t);    while (t--)    {        memset(a,0,sizeof(a));        for (i=0;i<26;i++)        {in[i]=0; out[i]=0; visit[i]=0;}        scanf("%d\n",&n);        while (n--)        {            gets(s); l=strlen(s);            k1=s[0]-'a'; k2=s[l-1]-'a';            ++in[k1]; ++out[k2];            visit[k1]=1; visit[k2]=1;            a[k1][k2]=1;            num=k1;        }        for (i=0;i<26;i++)        in[i]=in[i]-out[i];        f=0; k1=0; k2=0;        for (i=0;i<26;i++)        {            if (in[i]==-1) ++k1;            else if (in[i]==1)  {++k2;num=i;} //因为是有向图，如果不是欧拉回路的情况，随便找个点为起点dfs不一定能遍历所有点，如3 a b b c c d只能以a为起点否则就会判断连通性错误            else if (in[i]!=0)  f=1;        }        if (f==0)        {            if ((k1+k2==0) || ((k1==1)&&(k2==1)))            {                dfs(num);                for (i=0;i<26;i++)                f+=visit[i];            }            else f=1;        }        if (f!=0) printf("The door cannot be opened.\n");   else printf("Ordering is possible.\n");    }    return 0;}