二分图最大匹配:匈牙利算法(poj3041)

来源:互联网 发布:java怎么固定gui位置 编辑:程序博客网 时间:2024/03/29 21:06

二分图最大匹配的König定理

最小点覆盖数 = 最大匹配数

增广路的定义(也称增广轨或交错轨):

若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径,并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现,则称P为相对于M的一条增广路径。

 

 由增广路的定义可以推出下述三个结论:

  1、P的路径个数必定为奇数,第一条边和最后一条边都不属于M。

        2、将M和P进行取反操作可以得到一个更大的匹配M’

            (反操作:把P中的 匹配边 与 非匹配边 互换)

        3、M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径P


匈牙利算法

在介绍匈牙利算法之前还是先提一下几个概念,下面M是G的一个匹配。
M-交错路:p是G的一条通路,如果p中的边为属于M中的边与不属于M但属于G中的边交替出现,则称p是一条M-交错路。如:路径(X3,Y2,X1,Y4),(Y1,X2,Y3)。
M-饱和点:对于v∈V(G),如果v与M中的某条边关联,则称v是M-饱和点,否则称v是非M-饱和点。如X1,X2,Y1,Y2都属于M-饱和点,而其它点都属于非M-饱和点。
M-可增广路:p是一条M-交错路,如果p的起点和终点都是非M-饱和点,则称p为M-可增广路。如(X3,Y2,X1,Y4)。(不要和流网络中的增广路径弄混了)
求最大匹配的一种显而易见的算法是:先找出全部匹配,然后保留匹配数最多的。但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级函数。因此,需要寻求一种更加高效的算法。下面介绍用增广路求最大匹配的方法(称作匈牙利算法,匈牙利数学家Edmonds于1965年提出)。
增广路的定义(也称增广轨或交错轨):
若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径,并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现,则称P为相对于M的一条增广路径。
由增广路的定义可以推出下述三个结论:
1-P的路径个数必定为奇数,第一条边和最后一条边都不属于M。
2-将M和P进行取反操作可以得到一个更大的匹配M’。
3-M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。
算法轮廓:
⑴置M为空
⑵找出一条增广路径P,通过异或操作获得更大的匹配M’代替M
⑶重复⑵操作直到找不出增广路径为止

解题报告:
#include <iostream>#include <memory.h>using namespace std;int v1,v2;//顶点bool matrix[501][501];bool visit[501];//v2中每个点是否搜索过int link[501];//v2中每个点匹配的x点int ans;bool dfs(int x){    for(int y=1;y<=v2;y++)    {        if(matrix[x][y]&&!visit[y])          {              visit[y] = true;              if(link[y]==0||dfs(link[y]))//link[y]==0 : 如果y不属于前一个匹配M            {                             //find(link[y] : 如果被y匹配到的节点可以寻找到增广路                link[y] = x;//那么可以更新匹配M'(用M替代M')                return true;            }          }    }    return false;}void search(){    for(int x=1;x<=v1;x++)    {        memset(visit,false,sizeof(visit));        if(dfs(x))          ans++;    }    return ;}int main(){    int n,k;    while(cin>>n>>k)    {        memset(matrix,false,sizeof(matrix));        v1 = v2 =n;        int x,y;        for(int i=1;i<=k;i++)        {            cin>>x>>y;            matrix[x][y] = true;        }        ans = 0;        search();        cout<<ans<<endl;    }    return 0;}