欧拉函数与欧拉定理
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欧拉函数与欧拉定理
分类: 数论2012-09-22 18:44 411人阅读 评论(0) 收藏 举报
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先来介绍几个与欧拉函数有关的定理:
定理一:设m与n是互素的正整数,那么
定理二:当n为奇数时,有。
因为2n是偶数,偶数与偶数一定不互素,所以只考虑2n与小于它的奇数互素的情况,则恰好就等于n的欧拉函数值。
定理三:设p是素数,a是一个正整数,那么
关于这个定理的证明用到容斥:
由于表示小于与互素数的正整数个数,所以用减去与它不互素的数的个数就行了。
那么小于与不互素数的个数就是p的倍数个数,有个。所以定理得证。
定理四:设为正整数n的素数幂分解,那么
这个定理可以根据定理一和定理三证明,其实用到的就是容斥。
定理五:设n是一个正整数,那么
这个其实可以看莫比乌斯反演就明白了。
定理六:设m是正整数,(a,m)=1,则:是同于方程的解。
定理七:如果n大于2,那么n的欧拉函数值是偶数。
求欧拉函数值:
- int phi(int n)
- {
- int i,rea=n;
- for(i=2;i*i<=n;i++)
- {
- if(n%i==0)
- {
- rea=rea-rea/i;
- while(n%i==0) n/=i;
- }
- }
- if(n>1)
- rea=rea-rea/n;
- return rea;
- }
利用递推法求欧拉函数值:
算法原理:开始令i的欧拉函数值等于它本身,如果i为偶数,可以利用定理二变为求奇数的。
若p是一个正整数满足,那么p是素数,在遍历过程中如果遇到欧拉函数值等于自身的情况,那么说明该数为素数。
把这个数的欧拉函数值改变,同时也把能被该素因子整除的数改变。
- int phi()
- {
- int i,j;
- for(i=1;i<N;i++) p[i]=i;
- for(i=2;i<N;i+=2) p[i]>>=1;
- for(i=3;i<N;i+=2)
- {
- if(p[i]==i)
- {
- for(j=i;j<N;j+=i)
- {
- p[j]=p[j]-p[j]/i;
- }
- }
- }
- }
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