贝尔数,分拆

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贝尔数埃里克·坦普尔·贝尔(Eric Temple Bell)为名,是组合数学中的一组整数数列,开首是(OEIS的A000110数列):

B_0=1,\quad B_1=1,\quad B_2=2,\quad B_3=5,\quad B_4=15,\quad B_5=52,\quad B_6=203,\quad\dots

Bn是基数为n的集合的划分方法的数目。集合S的一个划分是定义为S的两两不相交的非空子集的族,它们的并是S。例如B3 = 5因为3个元素的集合{abc}有5种不同的划分方法:{ Bn表示[n]上的分拆个数,称为Bell数。}

{{a}, {b}, {c}}
{{a}, {bc}}
{{b}, {ac}}
{{c}, {ab}}
{{''a'', ''b'', ''c''}};

B0是1因为空集正好有1种划分方法。空集的每个成员都是非空集合,而它们的并是空集本身。所以空集是它的唯一划分。

贝尔数适合递推公式:

B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}{{n \choose k}B_k}.

它们也适合“Dobinski公式”:

B_n=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}期望值为1的泊松分数的n次矩。

它们也适合“Touchard同余”:若p是任意质数,那么

B_{p+n}\equiv B_n+B_{n+1}\ (\operatorname{mod}\ p).

每个贝尔数都是"第二类Stirling数"的和

B_n=\sum_{k=1}^n S(n,k).

Stirling数S(nk)是把基数为n的集划分为正好k个非空集的方法的数目。

把任一概率分布的n次矩以首n个累积量表示的多项式,其系数和正是第n个贝尔数。这种数划分的方法不像用Stirling数那个方法粗糙。

贝尔数的指数母函数是

\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}.

贝尔三角形[编辑]

用以下方法建构一个三角矩阵(形式类似杨辉三角形):

  • 第一行第一项是1(a_{1,1} = 1)
  • 对于n>1,第n行第一项等同第n-1行最后一项。(a_{n,1} = a_{n-1,n-1}
  • 对于m,n>1,第n行第m项等于它左边和左上方的两个数之和。(a_{n,m} = a_{n,m-1} + a_{n-1,m-1}

结果如下:(OEIS:A011971)

\begin{array}{cccccccccccccccccc}1 \\1 & & 2 & & & & & & &\\2 & & 3 & & 5 & & & & & &\\5 & & 7 & & 10 & & 15 & & & & &\\15 & & 20 & & 27 & & 37 & & 52 & & & &\\52 & & 67 & & 87 & & 114 & & 151 & & 203 & & &\\203 & & 255 & & 322 & & 409 & & 523 & & 674 & & 877 & &\\877 & & 1080 & & 1335 & & 1657 & & 2066 & & 2589 & & 3263 & & 4140 &\\& & & & &\vdots & & & & \vdots & & & & \vdots& & & & \\\end{array}

每行首项是贝尔数。每行之和是第二类Stirling数。

这个三角形称为贝尔三角形、Aitken阵列或Peirce三角形(Bell triangle, Aitken's array, Peirce triangle)。