杭电1023

来源：互联网发布：glide加载网络图片编辑：程序博客网时间：2024/04/24 14:04

不得不说，这是一道特别好的题目！我从一开始的找不到思绪，再到了解卡特兰数，了解到大数的乘除法，每一步都收获良多！

先理清一下学到的知识点吧！

1.卡特兰数！又称

卡塔兰数//维基百科连接

卡塔兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰

(1814–1894)命名。

卡塔兰数的一般项公式为 $C_n = \frac{1}{n+1}{2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!}$

前几项为（OEIS中的数列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796,

58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190,

6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

性质

C_n的另一个表达形式为 $C_n = {2n\choose n} - {2n\choose n-1} \quad\mbox{ for }n\ge 1$ 所以，C_n是一个自然数；这一点

在先前的通项公式中并不显而易见。这个表达形式也是André对前一公式证明的基础。

递推关系

$C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\sum_{i=0}^{n}C_i\,C_{n-i}\quad\mbox{for }n\ge 0.$

它也满足

$C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}C_n,$ //这个在本题中用来推导卡特兰数！

很重要的一个推导式！！

这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。

卡塔兰数的渐近增长为

$C_n \sim \frac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi}}$

它的含义是左式除以右式的商趋向于1当n → ∞。（这可以用n!的斯特灵公式来证明。）

所有的奇卡塔兰数C_n都满足 $n=2^k-1$ 。所有其他的卡塔兰数都是偶数。

卡特兰数的应用：

出栈次序

　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

　　常规分析

　　首先，我们设f（n）=序列个数为n的出栈序列种数。同时，我们假定第一个出栈的序数是k。

　　第一个出栈的序数k将1~n的序列分成两个序列，其中一个是1~k-1，序列个数为k-1，另外一

个是k+1~n，序列个数是n-k。

　　此时，我们若把k视为确定一个序数，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——序列个

数为k-1的出栈序列种数乘以序列个数为n - k的出栈序列种数，即选择k这个序数的f（n）=f（k-1）

×f（n-k）。而k可以选1到n，所以再根据加法原理，将k

取不同值的序列种数相加，得到的总序列种数为：f（n）=f（0）f（n-1）

+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0）。

　　看到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f（n）=h（n）

= C（2n,n）/（n+1）= c（2n,n）-c（2n,n+1）（n=1，2，3，……）。

　　最后，令f（0）=1，f（1）=1。

　　非常规分析

　　对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’，出栈

设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入

栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b)，

因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计

数不小于0的累计数的方案种数。

　　在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中

减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。

　　不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出

现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。

如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1

个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和

n-1个1组成的排列。

　　反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个

，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分

0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数

必对应一个不符合要求的数。

　　因而不合要求的2n位数与n+1个0，n－1个1组成的排列一一对应。

　　显然，不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)

=c(2n,n)/(n+1)=h(n+1)。

　　类似问题买票找零

　　有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人

只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有

5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

凸多边形三角划分

　　在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若

干个三角形。现在的任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数f（n）。

比如当n=6时，f（6）=14。^[6]

　　分析

　　如果纯粹从f（4）=2，f（5）=5，f（6）=14，……，f（n）=n慢慢去归纳

，恐怕很难找到问题的递推式，我们必须从一般情况出发去找规律。

　　因为凸多边形的任意一条边必定属于某一个三角形，所以我们以某一条边为

基准，以这条边的两个顶点为起点P1和终点Pn（P即Point），将该凸多边形的顶

点依序标记为P1、P2、……、Pn，再在该凸多边形中找任意一个不属于这两个点

的顶点Pk（2<=k<=n-1），来构成一个三角形，用这个三角形把一个凸多边形

划分成两个凸多边形，其中一个凸多边形，是由P1，P2，……，Pk构成的凸k边形

（顶点数即是边数），另一个凸多边形

，是由Pk，Pk+1，……，Pn构成的凸n-k+1边形。

　　此时，我们若把Pk视为确定一点，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等

价于——凸k多边形的划分方案数乘以凸n-k+1多边形的划分方案数，即选择Pk

这个顶点的f（n）=f（k）×f（n-k+1）。而k可以选2到n-1，所以再根据加法原理，

将k取不同值的划分方案相加，得到的总方案数为：f（n）=f（2）f（n-2+1）

+f（3）f（n-3+1）+……+f（n-1）f（2）。看到此处，

再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f（n）=h（n-1）

（n=2，3，4，……）。

　　最后，令f（2）=1，f（3）=1。

　　此处f（2）=1和f（3）=1的具体缘由须参考详尽的“卡特兰数”，也许可从

凸四边形f（4）=f（2）f（3）+ f（3）f（2）=2×f（2）f（3）倒推，四边形的

划分方案不用规律推导都可以知道是2，那么

2×f（2）f（3）=2，则f（2）f（3）=1，又f（2）和f（3）若存在的话一定是整数，

则f（2）=1，f（3）=1。

（因为我没研究过卡特兰数的由来，此处仅作刘抟羽的臆测）。

　…………

2.在c以及c++中，EOF被定义成-1！

3.如何处理大数的乘除法！很妙的方法！参考代码！

代码如下：

[cpp] view plaincopyprint?
//输出卡特兰数   
//首先需要肯定，程序是正确的   
//这算是大数乘除法！记住他们是如何处理的！由于数据很大，用基本数据类型根本无法满足要求，只能用数组来表示！  
#include <iostream>  
#include<cstdio>  
#include<memory.h>  
using namespace std;  
#define MAX 101  
#define BASE 10000//base只是一个基度，对最终取值并没有影响，相反，base取值愈大，计算量愈小  
//base发生改变的时候，下面的输出也要相应地做出调整，否则也会输出错误答案！除非当base取10！  
void multiply(int a[],int len,int b)//乘法   
{  
    for(int i=len-1,carry=0;i>=0;--i)//从最后一位开始相乘,依次向前与每一位相乘   
    {//问题在于，为什么BASE=10000？   
        carry+=b*a[i];  
        a[i]=carry%BASE;  
        carry/=BASE;  
    //cout<<"carry="<<carry<<" "<<"a["<<i<<"]="<<a[i]<<endl;//以4个0为一组  
    }   
}  
void divide(int a[],int len,int b)//除法，很妙的！这种除法可能想不到，仔细体会！   
{//应当如何除呢？  
    for(int i=0,div=0;i<len;++i)//从高位除起  
    {  
        div=div*BASE+a[i];  
        a[i]=div/b;//b为除数  
        div%=b;  
    }  
}  
int main()  
{  
    int i,j,h[101][MAX];  
    memset(h[1],0,MAX*sizeof(int));//赋值，每一个都置为0   
    for(i=2,h[1][MAX-1]=1;i<=100;++i)//运用递归，并且h[1]=1;   
    {  
        memcpy(h[i],h[i-1],MAX*sizeof(int));//h[i]=h[i-1];按字节拷贝，保证了h[i]和h[i-1]指向数组的一致性   
        multiply(h[i],MAX,4*i-2);//h[i]*=(4*i-2);  
        divide(h[i],MAX,i+1);//h[i]/=(i+1);          
    }//递归得到前100项的卡特兰数！  
    while(cin>>i && i>=1 && i<=100)//输入i的值   
    {  
                // for(i=1;i<=100;i++)  
                // {  
        for(j=0;j<MAX && h[i][j]==0;++j);//从0位开始搜索，找到不为0的第一个数   
        //printf("%d\n",EOF);在c语言中，EOF=-1；  
        printf("%d",h[i][j++]);//像是这个输出，就很妙了，第一位可能不足四位，就地输出！  
              for(;j<MAX;++j)  
        {  
        //  if(h[i][j]==0)  
        printf("%04d",h[i][j]);//处在中间的值也可能没有四位，这时候要注意了，往左边加0，凑足4位，不然答案会出错！  
            //  else  
         // printf("%d",h[i][j]);//不断输出值   
          
       }  
      
        printf("\n");  
    }  
    system("pause");  
      
    return 0;  
}  