hdu 4658 Integer Partition 整数划分+生成函数

#include <stdio.h>#include <math.h>#include <string.h>#include <iostream>using namespace std;const int mod=1e9+7;int f[100010];void init(){    f[0]=1;    int i,j,k,flag,t,tt;    for(i=1;i<=100000;i++)    {        f[i]=0;        flag=1;        for(j=1;;j++)        {            t=i-j*(3*j-1)/2;            tt=i-j*(3*j+1)/2;            if(t<0)break;            f[i]=(f[i]+flag*f[t])%mod;            if(tt<0)break;            f[i]=(f[i]+flag*f[tt])%mod;            flag=-flag;        }        f[i]=(f[i]+mod)%mod;    }}int find(int n,int k){    int i,j,ans,flag=-1,t,tt;    ans=f[n];    for(i=1;;i++)    {        t=k*i*(i*3-1)/2;        tt=k*i*(i*3+1)/2;        if(t>n)break;        ans=(ans+flag*f[n-t])%mod;        if(tt>n)break;        ans=(ans+flag*f[n-tt])%mod;        flag=-flag;    }    return (ans+mod)%mod;}int main(){    init();    int T;    cin>>T;    while(T--)    {        int n,k,ans;        scanf("%d%d",&n,&k);//T很大，不要用cin和cout        ans=find(n,k) ;        printf("%d\n",ans);    }    return 0;}

将n拆分成多个正整数之和，问有多少种拆法？
如5=1+1+1+1+1=1+1+1+2=1+1+3=1+4=5=1+2+2=2+3.共7种


方法：
直接公式：f[n]=∑(-1)^(k-1)*(f[n-k*(3*k-1)/2]+f[n-k*(3*k+1)/2])
            其中n-k*(3*k-1)/2>=0,n-k*(3*k+1)/2>=0；
        注意两个条件要分开判断，有大于0的就加上相应的f，不是两个同时成立或者不成立


以上是求的是无限制的整数划分


本题要求，拆分出来的整数中，任意整数都不能出现k次或k次以上，因而需要用公式的推导原理——生成函数来求
生成函数的详细说明请去百度百科或者维基百科查看，这里只简要说明下：
    生成函数（也有叫做“母函数”的）是说，构造这么一个多项式函数g(x)，使得x的n次方系数为f(n)。
这题用到的1+x+x^2+...，f[n]就是全由1组成的n有多少种，显然是1.类似的1+x^2+x^4+..表示的就是全部由2组成，
两者相乘的意义就在于(1+x+x^2)*(1+x^2)=1+x+2*x^2+x^3+x^4,其中x^2系数2表示拆分整数2的方案数，2=1+1=2,共2种


    所以无限制的拆分就可以理解成(1+x+x^2+x^3+...)*(1+x^2+x^4+..)*..*(1+x^k+x^2k+...)*..中x^n的系数就是所求值
    这题加了k的限制，所以得到的生成函数式：
    (1+x+x^2+...+x^(k-1))*(1+x^2+x^4+x^2(k-1))*...(每个括号内斗是等比数列求和)
    =(1-x^k)/(1-x)*(1-x^2k)/(1-x^2)*(1-x^3k)/(1-x^3)...（令y=x^k）
    =∏(1-y^i)/∏(1-x^i)（1<=i<∞）=g[y]/g[x]
∏(1-x^i)形式的可用五边形数定理来求，详细的请百度和谷歌
五边形定理：

再由可知

1/g[x]的系数

即p[n]=∑(-1)^(k-1)*(p[n-k*(3*k-1)/2]+p[n-k*(3*k+1)/2]),dp一下就能出来了

之后答案就是求(1-x^k-x^2k+x^5k+x^7k-x^12k-x^15k+x^22k+x^26k)*(1+p(1)x+p(2)x+p(3)x+...)中x^n的系数了

前者用五边形数定理求出指数x和系数flag，找到∑p[n-x]*flag就是结果了

相关链接：http://blog.csdn.net/zhoufenqin/article/details/9821617这位大神写的很详细，没看懂的可以去这看看]