算法入门3:分支算法(下)

来源:互联网 发布:新卷皮 淘宝客 源码 编辑:程序博客网 时间:2024/03/29 16:39

分治算法的设计模式 - 大化小,小化了

分治算法的主要步骤就是:分解,求解,合并。

Divide-and-Conquer(P){         //问题规模足够小,直接解决    if(P≤n0) return(ADHOC(P);          //问题规模大,则分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk    divide p into smaller subinstance P1 ,P2 ,...,Pk          //递归解决每个小问题    for i = 1 to k                 yi =  Divide-and-Conquer(Pi)          //合并子问题的解    T =  MERGE(y1,y2,...,yk)               return(T)}

经典问题

(1)二分搜索

(2)大整数乘法

(3)Strassen矩阵乘法

(4)棋盘覆盖

(5)合并排序

(6)快速排序

(7)线性时间选择

(8)最接近点对问题

(9)循环赛日程表

二分搜索

问题:从一个已经排好序的序列中,查找某一个元素。

 

分析:假设序列数组为a,大小为n,从小到大的顺序排列。按照最基本的思路,那就是遍历一遍数组,时间复杂度为O(n)。如果n很大,效率显然不够高,因为没有把题目中“已经排好序” 的条件用上。既然是已经排好序,那么就可以进行折半查找(二分搜索)。方法如下:

1. 将数组从中间分成上下两半,如果中间的值刚好是要查找的元素,直接输出结果。

2. 如果中间的值比要查找的大,那么说明要查找的元素只可能出现在上半段,再对上半段进行二分搜索。

3. 如果中间的值比要查找的小,那么说明要查找的元素只可能出现在下半段,再对下半段进行二分搜索。

 

这就是分治算法最典型的例子。每次把规模为n的问题划分成n/2,继续划分成n/4,n/8… 直到足够小能直接解决。

 

代码:

/************************************************************************  * 名  称:BinarySearch.cpp  * 功  能:分治算法案例:二分查找  * 作  者:JarvisChu  * 时  间:2013-11-7  ************************************************************************/  #include "stdio.h" /*----------------------------------------------------------------------------------  * 功  能:   在大小为n的数组a中查找元素tag * 参  数:   a[] 要查找的数组,从小到大排列                          n 数组大小                           tag 待查找的元素 * 返  回: 找到则返回所在下标,否则返回-1  ------------------------------------------------------------------------------------*/  int BinarySearch(int a[],int n,int tag)  {         int low = 0,high = n-1,mid = 0;          while(low<=high)         {                 mid = (low+high)/2;                  //正好是中间的元素                 if(a[mid] == tag)                          return mid;                  //在上半段查找                 if(a[mid]>tag)                 {                          high = mid-1;                 }                  //在下半段查找                 else                 {                          low = mid+1;                 }         }          return -1;} int main(){         //Test         int a[10]={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};         printf("%d\n",BinarySearch(a,10,4));         printf("%d\n",BinarySearch(a,10,11));          return 0;}

盘覆盖

问题:  在一个2k×2k 个方格组成的棋盘中,恰有一个方格与其它方格不同,称该方格为一特殊方格,且称该棋盘为一特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中,要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格,且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。

      

分析:   当k>0时,将2k×2k棋盘分割为4个2k-1×2k-1子棋盘(a)所示。

特殊方格必位于4个较小子棋盘之一中,其余3个子棋盘中无特殊方格。为了将这3个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘,可以用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处,如 (b)所示,可以把黄色的方格看做是较小棋盘的特殊方格,从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。


递归地使用这种分割,直至棋盘简化为棋盘1×1。

代码:

/************************************************************************  * 名  称:Chessboard.cpp * 功  能:分治算法案例:棋盘覆盖  * 作  者:JarvisChu  * 时  间:2013-11-7  ************************************************************************/  #include <stdio.h> /* L型骨牌的类型 ------           ------|            |                         ||                      |            |                         ||                      |            |------             ------| */#define L1 1#define L2 2#define L3 3#define L4 4 #define N 16            //棋盘大小,边长 int board[N][N]; //棋盘 /*----------------------------------------------------------------------------------  * 功  能: 对左上角为(tr,tc),边长为size的棋盘进行棋盘覆盖       * 参  数:(tr,tc)为棋盘的左上角坐标;(dr,dc)为特殊方格的位置;size为棋盘的大小,即边长 * 返  回:无  ------------------------------------------------------------------------------------*/  void ChessBoard(int tr,int tc,int dr,int dc,int size){         //棋盘为1 x 1,不可再分割,直接返回         if(size == 1) return ;          //分割子棋盘         int s = size/2;//子棋盘大小          //判断特殊方格在哪个子棋盘内,以确定使用哪种L骨牌         int type = 0;         if(dr < tr+s && dc < tc+s)//特殊方格在左上角的子棋盘内         {                 type = L4; //使用第四种类型的L骨牌         }         else if(dr < tr + s && dc >= tc + s) //在右上角         {                 type = L3;         }         else if(dr >= tr + s && dc < tc + s) //在左下角         {                 type = L2;         }         else                                 //在右下角         {                 type = L1;         }                  //覆盖左上角的子棋盘         if(type == L4)           //特殊方格在该子棋盘内         {                 ChessBoard(tr,tc,dr,dc,s);//递归覆盖该子棋盘         }         else                    //特殊方格不在该子棋盘内         {                 board[tr+s-1][tc+s-1] = type;//使用type型骨牌覆盖其右下角的方格                 ChessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);         }          //覆盖右上角的子棋盘         if(type == L3)        //特殊方格在该子棋盘内         {                 ChessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s);               }         else                 //特殊方格不在该子棋盘内         {                 board[tr+s-1][tc+s] = type;//使用type型骨牌覆盖其左下角的方格                 ChessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);         }          //覆盖左下角的子棋盘         if(type == L2)      //特殊方格在该子棋盘内         {                 ChessBoard(tr+s,tc,dr,dc,s);               }         else                //特殊方格不在该子棋盘内         {                 board[tr+s][tc+s-1] = type; //使用type型骨牌覆盖其右上角的方格                 ChessBoard(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);         }          //覆盖右下角的子棋盘         if(type == L1)         //特殊方格在该子棋盘内         {                 ChessBoard(tr+s,tc+s,dr,dc,s);             }         else                   //特殊方格不在该子棋盘内         {                 board[tr+s][tc+s] = type;//使用type型骨牌覆盖其左上角的方格                  ChessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);         }}  int main(){         //初始化棋盘         for(int row=0;row<N;++row)         {                 for(int col=0;col<N;++col)                          board[row][col] = 0;         }          //设定特殊方格位置         int dr = 3,dc=4;                 //棋盘覆盖         ChessBoard(0,0,dr,dc,N);           //打印棋盘         for(int row=0;row<N;++row)         {                 for(int col=0;col<N;++col)                          printf("%3d",board[row][col]);                 printf("\n");         }          return 0;}


备注:博主用MFC实现了一个图形化的棋盘覆盖程序。如有兴趣可以留下邮箱索要源码。

可以设置棋盘的格数,特殊方格(红色)的位置,点击开始演示,则执行棋盘覆盖

 


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作者 :JarvisChu

出处:http://blog.csdn.net/jarvischu


 

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