学习笔记----快速幂取模算法

来源:互联网 发布:网络层ddos 编辑:程序博客网 时间:2024/03/28 21:00

转自博客:http://www.cnblogs.com/E-star/archive/2012/05/05/2484601.htm

向宝哥学习!

1:利用a^b%n = (((a%c)*a)%c......)运算计算时间复杂度认为得到优化,O(b),但b很大是还是不行。

int modexp_simple(int a,int b,int n)
{
    int ret = 1;
    while (b--)
    {
        ret = a * ret % n;
    }
    return ret;
}

2:

算法2:另一种算法利用了二分的思想,可以达到O(logn)。
可以把b按二进制展开为:b = p(n)*2^n  +  p(n-1)*2^(n-1)  +…+   p(1)*2  +  p(0)
其中p(i) (0<=i<=n)为 0 或 1

这样 a^b =  a^ (p(n)*2^n  +  p(n-1)*2^(n-1)  +...+  p(1)*2  +  p(0))
               =  a^(p(n)*2^n)  *  a^(p(n-1)*2^(n-1))  *...*  a^(p(1)*2)  *  a^p(0)
对于p(i)=0的情况, a^(p(i) * 2^(i-1) ) =  a^0  =  1,不用处理
我们要考虑的仅仅是p(i)=1的情况
化简:a^(2^i)  = a^(2^(i-1)  * 2) = (  a^(  p(i)  *  2^(i-1)  )  )^2

利用这一点,我们可以递推地算出所有的a^(2^i)
当然由算法1的结论,我们加上取模运算:
a^(2^i)%c = ( (a^(2^(i-1))%c) * a^(2^(i-1)))  %c

于是再把所有满足p(i)=1的a^(2^i)%c按照算法1乘起来再%c就是结果 即二进制扫描从最高位一直扫描到最低位
 非递归算法:
#include <iostream> 
#define ll long long  
using namespace std;    
     
//计算a^b mod n    
ll modexp(ll a,ll b,ll n)    
{    
    ll ret=1;    
    ll tmp=a;    
    while(b)    
    {    
       //基数存在    
       if(b&0x1) ret=ret*tmp%n;    
       tmp=tmp*tmp%n;// 计算a^(2*i)  但b的二进制位是0的时候相当于ret*1所以不用考虑
       b>>=1;    
    }    
    return ret;    
}    
     
int main()    
{    
    cout<<modexp(2,10,3)<<endl;    
    return 0;    
}   

  


  递归实现:

/计算a^bmodn      
int modexp_recursion(int a,int b,int n)      
{     
    int t = 1; 
   
    if (b == 0) 
        return 1; 
   
    if (b == 1) 
         return a%n; 
   
    t = modexp_recursion(a, b>>1, n); 
   
    t = t*t % n; 
   
    if (b&0x1) 
    {     
        t = t*a % n; 
    
   
    return t; 
 }  

  

参考:http://blog.csdn.net/lsldd/article/details/5506933

 

 模板:

ll modmul(ll a,ll b, ll mod)
{
    ll res = 0;
    ll tmp = a;
    while (b)
    {
        if (b&1) res = (res + tmp)%mod;
        tmp = (tmp+tmp)%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
ll modexp(ll a,ll b,ll mod)
{
    ll res = 1;
    ll tmp = a;
    while (b)
    {
        if (b&1) res = modmul(res,tmp,mod);
        tmp = modmul(tmp,tmp,mod);
        b>>=1;
    }
    return res;
}

 

0 0
原创粉丝点击