edit distance 理解

一直没有理解到inert i delete j 的意思。看看图就可以明白了。

对于那道面试题：http://www.careercup.com/question?id=6287528252407808  k-palindrome. 最精妙的地方在于只考虑 k 长度以内的改变，这样就可以判断出来了。速度是O(k*n)

1. Definition of  Minimum Edit Distance 

Edit Distance用于衡量两个strings之间的相似性。

两个strings之间的Minimum edit distance是指把其中一个string通过编辑（包括插入，删除，替换操作）转换为另一个string的最小操作数。

如上图所示，d（deletion）代表删除操作，s（substitution）代表替换操作，i（insertion）代表插入操作。

（为了简单起见，后面的Edit Distance 简写为ED）

如果每种操作的cost（成本）为1，那么ED = 5.

如果s操作的cost为2（即所谓的Levenshtein Distance），ED = 8.

2. Computing Minimum Edit Distance

那么如何找到两个strings的minimun edit distance呢？要知道把一个string转换为另一个string可以有很多种方法（或者说“路径“）。我们所知道起始状态（第一个string）、终止状态（另一个string）、基本操作（插入、删除、替换），要求的是最短路径。

对于如下两个strings：

X的长度为n

Y的长度为m

我们定义D（i，j）为 X 的前i个字符 X[1...i] 与 Y 的前j个字符 Y[1...j] 之间的距离，其中0<i<n, 0<j<m，因此X与Y的距离可以用D(n,m)来表示。

假如我们想要计算最终的D(n,m)，那么可以从头开始，先计算D(i, j) （i和j从1开始）的值，然后基于前面的结果计算更大的D(i, j)，直到最终求得D(n,m)。

算法过程如下图所示：

上图中使用的是”Levenshtein Distance“即替换的成本为2.

请读者深入理解一下上图中的循环体部分： D(i,j)可能的取值为:

1. D(i-1, j) +1 ；

2. D(i, j-1) +1 ；

3. D(i-1, j-1) + 2 (当X新增加的字符和Y新增加的字符不同时，需要替换）或者 + 0（即两个字符串新增加的字符相同）

下图即对字符串 INTENTION 和 EXECUTION 一步步求ED形成的表。左上角画红圈的8就是两个字符串间的最小ED。

3. Backtrace for Computing Alignments

上一节课我们求得了Edit distance，但是仅有Edit distance也是是不够的，有时我们也需要把两个strings中的每个字符都一一对应起来（有的字母会与“空白”对应），这可以通过Backtrace(追踪)ED的计算过程得到。

通过上一节我们知道，D(i, j)的取值来源有三种，D(i-1, j)、D(i, j-1)或者D(i-1, j-1)，下表通过添加箭头的方式显而易见地给出来整个表格的计算过程（下面的阴影表示的只是一种路径，你会发现得到最后结果的路径不是惟一的，因为每个单元格数字可能由左边、下边或者左下边的得到）。

从表格右上角开始，沿着追踪的剪头，就可以拎出一条路径出来（不惟一），这条路径的剪头可以轻易的展现是通过哪种方法（插入、删除、替换）完成的。

表格右上角阴影部分四个格子，路径只有一条，我们也可以很轻易地看出最后四个字母是相同的，但这种情况并不绝对，比如中间的阴影6格也只有一种路径，可是却分别对应于字母e和c。

算法实现“寻找路径”的思想很简单——就是给每个单元格定义一个指针，指针的值为LEFT/DOWN/DIAG(不明白为什么他为什么说是指针)，如下图所示。

想一下普通的情况，如下图，从(0,0)到(M,N)的任何一条非下降路径都对应于两个strings间的一个排列，而最佳的排列由最佳的子排列组成。

简单思考一下算法的性能

Time：    O(nm)

Space：  O(nm)

Backtrace： O(n+m)