小球下落

题目：

有一颗二叉树，最大深度为d，且所有叶子的深度都相同。所有节点从上到下从左到右编号为1,2,3,...,2^d-1。

在节点1处放置一个小球，它会往下落。每个内节点上都有一个开关，初始全都关闭，当每次有小球落到一个开关上时，

他的状态都会改变。当小球到达一个内节点时，如果该节点上的开关关闭，则往左走，否则往右走，直到走到叶子节点。

如图：

现在有一些小球从节点1处一次开始下落，最后一个小球将会落在哪里呢？输入叶子深度d和小球个数num，输出第num个小球最后所在的叶子编号。
假设num不超过整棵树的叶子个数，d<=20，最多输入包含1000组数据。

样例输入：

4 2

3 4

16 12345

样例输出：

12

7

36358

分析：
 * 1，利用二叉树的特性，一个节点k的左子节点是2k,右子节点是2k+1。
 * 2，num不超过整棵树的叶子个数，即num要小于二叉树的节点树，满二叉树的节点数是：2^层数-1

public class Test9 {private static final int MAXD = 20;private static int[] s = new int[1<<MAXD];//初始化保存节点的数组public static void main(String[] args) {Scanner scan = new Scanner(System.in);int d = scan.nextInt();//输入层数int num = scan.nextInt();//输入小球个数int result = getResult(d,num);System.out.println(result);}public static int getResult(int d,int num) {int k = 1,n = (1 << d) - 1;//k是当前节点，n是二叉树节点个数。for (int i = 0; i < num; i++) {//num个小球下落k = 1;for(;;) {//0代表关闭，1代表开启if(s[k] == 0) {s[k] = 1;} else {s[k] = 0;}/*由于提前做了置换状态的操作，而这里需要根据置换之前的状态判断小球往哪里落，所以这里判断是0，则表示置换前是1，向右走，如果是1则表示置换前是0，向左走。*/k = s[k] == 0 ? k*2+1 : k*2;if(k > n)break;}}return k/2;}}

这个程序在运算量上其实是很大的，由于num可以高达2^(d-1)，每个测试数据下落总层数可能会高达2^19*19=9961472，而一共可能有10000组数据。

其中一种优化方案的解决思路：

每个小球都会落在根节点上，因此前两个小球必然一个在左子树，一个在右子树。一般的，只需要看小球编号的奇偶性，就能知道它最终在哪颗子树中。对于那些落入根节点左子树的小球来说，只需要知道该小球是第几个落在根的左子树里的，就可以知道它下一步往左还是往右了。依次类推，直到小球落在叶子上。

如果使用题目中给出的编号num，则当num是奇数时，他是往左走的第(num+1)/2个小球；当num是偶数时，他是往右走的第num/2个小球。这样，可以直接模拟最后一个小球的路线：

public class Test9_1 {public static void main(String[] args) {Scanner scan = new Scanner(System.in);String src = scan.nextLine();String[] ss = src.split(" ");int d = Integer.parseInt(ss[0]);int num = Integer.parseInt(ss[1]);int result = getResult(d,num);System.out.println(result);}public static int getResult(int d,int num) {int k = 1;for(int i=0;i<d-1;i++) {if(num%2 == 1) {k = k * 2;num = (num + 1) / 2;} e lse {k = k * 2 + 1;num /= 2;}}return k;}}

这样，程序的运算量就与小球编号无关了，而且节省了一个巨大的数组s。