关系数据库设计理论（5） 关系模式的规范化

   一、范式

　

        关系模式满足的确定约束条件称为范式，根据满足约束条件的级别不同，
    范式由低到高分为1NF,2NF,3NF,BCNF,4NF,5NF等。

        不同的级别范式性质不同。

       关系模式的规范化：把一个低一级的关系模式分解为高一级关系模式的过程。

 

  二、概念

    1、第一范式(1NF)

           关系模式的所有域为简单域，其元素(即属性)不可再分，
       是属性项而不是属性组。

       例4.5.1：

       例4.5.2：工资(工号，姓名，工资(基本工资，年绩津贴，煤电补贴))

      △ 不满足1NF的关系称为非规范化关系。
      △ 关系数据模型不能存储上两个例子（非规范化关系），
         在关系数据库中不允许非规范化关系的存在。
      △ 转化方法：
       (1) A₁,A₂,A₃,…，A_k1，A_k2，…,A_n
       (2) 工资(工号,姓名,基本工资,津贴,奖金)

    2、第二范式（2NF）：

           给定关系模式R及其上的函数依赖集F，
       如果R的任何一个非主属性都完全依赖于它的每一个侯选关键字，
       则称R是第二范式，简记为2NF。

       △ 若关系模型H包含的每一关系模式都是2NF的，则称该关系模型是2NF的。
       △ 2NF∈1NF

       例4.5.3：
           SCT（SNO,CNO,CN,GRADE,TNAME,BDATE,SALARY）
           F={SNO,CNO→GRADE
           CNO→CN,CNO→TNAME
           TNAME→BDATE,TNAME→SALARY} 非2NF

       存在问题：1.数据冗余；2.插入，删除异常 3.修改麻烦。 

       原因：非主属性部分依赖于侯选关键字，
             关键字是一个元组区别其它元组的依赖，
             同时也是一个元组赖以存在的依据。

       分解为：SC (SNO,CNO,GRADE),CT(CNO,CN,TNAME,BDATE,SALARY)

       例4.5.4：
           R=(ABCD,{AB→C，C→D})

       答案：R为2NF


     3、第三范式（3NF）

          给定关系模式R及其上的函数依赖集F，
      如果R的任何一个非主属性都不传递依赖于它的任何一个侯选关键字，
      则称R是第三范式，简记为3NF。

      △ 若关系模型H包含的每一关系模式都是3NF的，则称该关系模型是3NF的。
      △ 定理：一个3NF的关系(模式)必定是2NF的(3NF∈2NF∈1NF) 。 

      证明：如果一个关系(模式)不是2NF的，那么必有非主属性A_j，
        候选关键字X和X的真子集Y存在，使得Y→A_j。由于A_j是非主属性，
        故A_j-(XY)≠Φ，Y是X的真子集，所以YX，
        这样在该关系模式上就存在非主属性A_j传递依赖候选关键字X(X→Y→A_j)，
        所以它不是3NF的，证毕。

      例4.5.4：CT（CNO,TNAME,BDATE,SALARY）

        解：不能存放不开课的教师，教师信息和课程数一样多。

      原因：传递函数依赖
           R={City,St,Zip}
           F={(City,St)→Zip,Zip→City} 3NF
           CT(CNO,TNAME, BDATE, SALARY）非3NF

      分解为：C(CNO,CNAME,TNAME), T(TNAME,BDATE,SALARY) 3NF

     4、BCNF（改进的3NF）

            给定关系模式R及其上的函数依赖集F,如果R的任意两个子集X、Y，
        当非平凡函数依赖X→Y为F所蕴涵，则决定因素X中
        必含有侯选关键字或X为超关键字，则称R是Boyde/Codd范式，
        简记为BCNF。

        BCNF的内涵：
         (1)非主属性对关键字完全函数依赖
         (2)主属性对不含它的关键字完全函数依赖
         (3)没有属性完全函数依赖于一组非主属性
         (4)主属性不传递依赖于任何一个侯选关键字
         (5)非主属性不传递依赖于任何一个侯选关键字

      △ 定理： BCNF满足3NF (BCNF∈3NF∈2NF∈1NF)

        反证法：
            R∈BCNF，但R∈BCNF
        设存在非主属性A，关键字X以及属性组Y，使得X→Y，Y→X，Y→A，
        由BCNF有Y→A，则Y为关键字，于是有Y→X，这与YX矛盾。

      例4.5.6：
             R={S，T，J}
             F={T→J，ST→J，SJ→T}非BCNF
             C(CNO,CNAME,TNAME),T(TNAME,BDATE,SALARY)  BCNF

      分解为：ST(S,T), TJ(T,J)

     5、总结：
         3NF→BCNF:消除主属性对侯选关键字的部分和传递函数依赖
         2NF→3NF :消除非主属性对侯选关键字的传递函数依赖
         1NF→2NF :消除非主属性对侯选关键字的部分函数依赖

     6、规范化的基本思想
            逐步消除不合适的函数依赖，使数据库中的各个关系模式
        达到某种程度的分离。

 

  三、分解算法

     1、分解的基本要求

           分解后的关系模式与分解前的关系模式等价，
       即分解必须具有无损联接和函数依赖保持性。

     2、目前分解算法的研究结论

      (1) 若要求分解具有无损联接性，那么分解一定可以达到BCNF。
      (2) 若要求分解保持函数依赖，那么分解可以达到3NF，
          但不一定能达到BCNF。
      (3) 若要求分解既保持函数依赖，又具有无损联接性，
          那么分解可以达到3NF，但不一定能达到BCNF。

     3、面向BCNF且具有无损联接性的分解(算法1)

      输入：关系模式R及其函数依赖集F。
      输出：R的一个无损联接分解，其中每一个子关系模式都满足
              F在其上投影的BCNF。

      算法实现：
             反复运用逐步分解定理，逐步分解关系模式R，
         使得每次分解都具有无损联接性，而且
         每次分解出来的子关系模式至少有一个是BCNF的，
           即：
          1）置初值ρ={R}；
          2）检查ρ中的关系模式，如果均属BCNF，则转4）；
          3）在ρ中找出不属于BCNF的关系模式S，那么必有X→A∈F⁺，
             （A不包含于X），且X不是S的关键字。因此XA必不包含
             S的全部属性。把S分解为{S₁，S₂}，其中S₁=XA，S2=(S-A)X，
             并以{S₁，S₂}代替ρ中的S，返回2）
          4）终止分解，输出ρ。

      定理：算法1正确

      证明：在上述算法的第3)步，

       ⑴由于S₁∩S₂=X，S₁-S₂=A，而且满足X→A∈F，
         S分解为{S₁，S₂}具有无损联接性。
       ⑵由于R中的属性有限，S₁和S₂所包含的属性个数都有比S少，
         所以经过有限次迭代，算法一定终止，ρ的每一个关系模式都满足BCNF，
         由于每步分解都具有无损联接性，最后分解当然是无损联接的。

      例4.5.7：
          R=(ABCD,{BC→A}),分解R使分解后的关系达到BCNF且具有无损联接性。

      答案：R₁=(ABC, {BC→A}), R₂=(BCD, {Ф})

      例4.5.8：
          无损联接地将CTHRSG分解为一组BCNF的关系模式，
      其中：C表示课程，T表示教师，H表示时间，R表示教室，
            S表示学生，G表示成绩。
      函数依赖集F及其所反映的语义分别为：
          C→T 每门课程仅有一位教师担任。
         HT→R 在任一时间，一个教师只能在一个教室上课。
         HR→C 在任一时间，每个教室只能上一门课。
         HS→R 在任一时间，每个学生只能在一个教室听课。
         CS→G 每个学生学习一门课程只有一个成绩。

      解：1) 关系模式CTHRSG侯选关键字为：HS；
             由CS不包含侯选关键字，CS→G，
             分解CTHRSG为CSG和CTHRS，并求得CSG和CTHRS上函数依赖最小集：
             F11=πCSG(F) ={ CS→G }
             F12=πCTHRS(F)={HS→R,HT→R,C→T,HR→C}
             CSR(CSG,{CS→G})(BCNF)
             CTHRS(CTHRS,{HS→R,HT→R,C→T,HR→C})
             ρ={CSG, CTHRS}
          2) 关系模式CTHRS侯选关键字为：HS；
             由C不包含侯选关键字，C→T，
             分解CT为CSG和CHRS，并求得CT和CHRS上函数依赖最小集：
             CT(CT,{C→T})(BCNF)
             CHRS(CHRS,{HS→R,HT→R,HR→C})
             ρ={CSG,CT, CHRS}
          3) 关系模式CHRS侯选关键字为：HS；
             由HR不包含侯选关键字，HC→R，
             分解CT为CSG和CHRS，并求得CT和CHRS上函数依赖最小集：
             CHR(CH,{HC→R,HR→C})(BCNF)
             CHS(HS,{HS→C})(BCNF)
          4) ρ={CSG,CT,CHR,CHS}

　

图4.5.1 算法分解树

      算法1：存在两个问题：
  第一、分解结果不唯一
  例：最后一次分解时如果选择HR→C，
      则分解的最终结果为
        CSG、CT、HRC和HRS。
      所以分解要结合语义和实际应用
      来考虑。
  第二、分解不保证是保持函数依赖的
  例：TH→R未能保持，在分解后各模式的
     函数依赖的并集中没有逻辑蕴涵
     TH→R。


       4、面向3NF且保持函数依赖的分解（算法2）

         输入：关系模式R及其上的最小函数依赖集F。
         输出：R的保持函数依赖的分解，其中每一个关系模式是关于F在其上投影的3NF。

         算法实现：
             1)如果R中存在一些不在F中出现的属性，
               则将它们单独构成一个关系模式，并从模式R中消去；
             2)如果F中有一个函数依赖X→A，且XA=R，则R不用分解，
               算法终止；
             3)对F中的每一个函数依赖X→A，构造一个关系模式XA。
               如果X→A₁,X→A₂,…,X→A_n均属于F，则构造一个关系模式XA₁A₂…A_n。

         定理：算法2正确(证明略）

         例4.5.9：分解算法1例2关系模式CTHRSG,要保持函数依赖达到3NF。

         解：关系模式CTHRSG的最小函数依赖集F={C→T,CS→G,HR→C,
             HS→R,TH→R}。该模式可以保持函数依赖地分解为如下一
             组3NF的关系模式：ρ={CT，CSG，CHR，HSR，HRT}。

      5、面向3NF既有无损联接性又保持函数依赖的分解（算法3）

         输入：关系模式R及其上的最小函数依赖集F。
         输出：R的具有无损联接性及保持函数依赖的分解，
              其中每一个关系模式均为3NF。

         算法实现：
            1) 按算法2对关系模式R进行分解，设结果为σ={R₁，R₂，…，R_k}；
            2) X是R的关键字,τ=σ∪{X}是R的一个分解。
            3) 求τ式的最小集合（当R_i≤R_j∈τ时,消去R_i）。

         定理：算法3正确
              设X是R的关键字,则τ=σ∪{X}是R的一个分解，
          且所有的关系模式均满足3NF,同时具有无损联接性和保持函数依赖性。
          由于σ中全部模式均为3NF，X中属性之间不存在传递和部分函数依赖，
          即X也是3NF的。分解τ具有无损联接性可以无损联接性检验算法验证。
          由于X为R的关键字，表中模式X所对应的行，应用修改规则处理后，
          将变成全部由а组成。

        例4.5.10：
                将算法1例2的关系模式CTHRSG分解为一组3NF的关系模式，
            要求分解既具有无损联接性又保持函数依赖。

        解：在算法2例中得σ={CT，CSG，CHR，HSR，HRT}，
            而HS是原模式的关键字，所以τ={CT，CSG，CHR，HSR，HRT，HS}。
            由于HS是模式HSR的一个子集，所以
            消去HS后的分解{CT，CSG，CHR，HSR，HRT}
            就是具有无损联接性和保持函数依赖性的分解，
            且其中每一个模式均为3NF。