关系数据库设计理论（4） 关系模式的分解

    一、关系模式的分解

      1、把一个关系模式分解成若干个关系模式的过程，称为关系模式的分解。

      2、定义

             关系模式R<U,F>的分解是指R为它的一组子集
          ρ={R₁<U₁,F₁>, R₂<U₂,F₂>,…, R_k<U_k,F_k>}所代替的过程。
          其中U=U₁∪U₂∪...∪_k ,并且没有U_i≤U_j(表U_i包含于U_j，1≤i,j≤k),
          F_i是F在U_i上的投影，即F_i={X→Y∈F⁺∧XY≤U_i}(表XY包含于U_i）。

      例4.4.1：
          将R=(ABCD,{A→B,B→C,B→D,C→A})分解为
          关于U₁=AB，U₂=ACD两个关系,求R₁,R₂ 。

      解：
          R₁=(AB,{A→B,B→A})
          R₂=(ACD,{A→C,C→A,A→D})

      3、关系模式分解必须遵守两个准则
       (1)无损联接性：信息不失真（不增减信息）。
       (2)函数依赖保持性：不破坏属性间存在的依赖关系。

 

  二、分解的无损联接性
      1、定义

              设F是关系模式R的函数依赖集
ρ={R₁<U₁,F₁>, R₂<U₂,F₂>,…,R_k<U_k,F_k>}         是R的一个分解，


             如果R的满足F的任一个关系r均有：r=m_ρ(r)，
         则称分解ρ具有无损联接性。

      2、引理
             设ρ={R₁<U₁,F₁>, R₂<U₂,F₂>,…，R_k<U_k,F_k>}
         为关系模式R的一个分解，r为R的任一个关系，r_i=π_Ui(r),
             则：
         ① r≤m_ρ(r)(表r包含于m_ρ(r))
         ② 如果s=m_ρ(r) ,则π_Ui(s)=r_i
         ③ mρ(m_ρ(r))=m_ρ(r)

             证：
         ①设t为关系r的任一元组，t_i=t[u_i]∈r_i(i=1,2,…,k),
           根据自然连接的定义，t₁,t₂,…,t_i∈π_Ui(r)，即t∈m_ρ(r)，
           所以有r≤m_ρ(r)(表包含于m_ρ(r))。
         ②、③的证明参看P121。

             结论：分解后的关系做自然联接必包含分解前的关系，
         即分解不会丢失信息，但可能增加信息，
         只有r=m_ρ(r)时，分解才具有无损联接性。

      例4.4.2：设_ρ(r)，由此可得到什么结论？
      解：

           结论：分解不具有无损联接性。

      3、为什么要进行关系分解
             一个关系模式分解后，可以存放原来所不能存放的信息，
         通常称为“悬挂”的元组，这是实际所需要的，正是分解的优点。
         在做自然联接时，这类悬挂元组自然丢失了，
         但不是信息的丢失，而是合理的。

        

              

      4、检验分解无损联接性的算法
             设有关系模式R(A₁,A₂,…,A_n), F为它的函数依赖集，
         ρ={R₁,R₂,…,R_k}为R的一个分解。

         算法：

          (1)构造初始表：
                 构造一个k行n列的初始表，其中每列对应于R的一个属性，
             每行用于表示分解后的一个模式组成。
             如果属性A_j属于关系模式R_i, 则在表的第一i行第j列置符号a_j，
             否则置符号b_ij 。

          (2)根据F中的函数依赖修改表内容：
                 考察F中的每个函数依赖X→Y,在属性组X所在的那些列上
             寻找具有相同符号的行，如果找到这样的两行或更多的行，
             则修改这些行，则使这些行上属性组Y所在的列上元素相同。
                 修改规则是：如果y所在的要修改的行中有一个为a_j，
             则这些元素均变成a_j；否则改动为b_mj（其中m为这些行的最小行号）。

          注意：若某个b_ij被改动，则该列中凡是与b_ij相同的符号均做相同的改动。
                循环地对F中的函数依赖进行逐个处理，直到发现表中有一行
                变为a₁,a₂,…a_n或不能再被修改为止。

          (3)判断分解是否为无损联接：
                 如果通过修改，发现表中有一行变为a₁,a₂,…a_n, 
             则分解是无损联接的，否则分解不具有无损联接性。

        算法实现：
            输入：关系R上的属性集U={A₁,A₂,…,A_k} , R上的函数依赖集F, 
                  R的分解ρ={R₁,R₂,…,R_k}。
            输出：如果ρ为无损分解则为真，否则为假。

        Lossless(R,F,ρ)
          { 构造初始表Rρ
                       change=真；
             while (change)
              { for (F中的每个函数依赖X→Y)
                 { if(Rρ中t_i1[X]=t_i2[X]=…=t_im[X]）
                     {将t_i1[Y],t_i2[Y]=,…,t_im[Y]改为相同}
                   if (Rρ中有一行为a₁,a₂,…a_n）
                     {return 真；}
                  }
                 if (修改后的表Rρ=修改前的表Rρ ）
                    {chang=假；}
               }
             if (Rρ中有一行为a₁,a₂,…a_n）{return 真；}
             else {return 假；}
           }

      例4.4.3：关系模式R(SAIP),F={S→A,SI→P},ρ={R₁(SA),R₂(SIP)}，
           检验分解是否为无损联接。

    

           通过修改发现表中第二行元素变为a₁,a₂,…,a_n,分解是无损联接。

      例4.4.4：已知关系模式R(ABCDE)及函数依赖集F={A→C,B→C,C→D,DE→C,CE→A}
           验证分解ρ={R₁(AD),R₂(AB),R₃(BE),R₄(CDE),R₅(AE)}是否为无损联接。

       

       

         

           通过修改发现表中第三行元素变为a₁,a₂,…,a_n,分解是无损联接。

      练习4.4.1：
           已知关系模式R(U,F) ,
           U={SNO,CNO,GRADE,TNAME,TAGE,OFFICE}，
           F={(SNO,CNO)→GRADE,CNO→TNAME,TNAME→(TAGE,OFFICE)}，
           以及R上的两个分解 ρ₁={SC,CT,TO}, ρ₂={SC,GTO}，
           其中SC={SNO,CNO,GRADE},CT={CNO,TNAME},TO={TNAME,TAGE,OFFICE}，
           GTO={GRADE,TNAME,TAGE,OFFICE}。
           试检验ρ₁,ρ₂的无损联接性。

      答案： ρ₁是无损分解，ρ₂不是无损分解。

      5、定理4.4.1
             检验分解无损联接性的算法，能够正确判定一个分解
         是否具有无损联接性。(证明：参看课本P124)

      6、定理4.4.2
             设ρ={R₁, R₂}是关系模式R的一个分解，F是R的函数依赖集，
         那么ρ是R（关于F）的无损分解的充分必要条件是：
         (R₁∩R₂)→R₁-R₂∈F⁺ 或 (R₁∩R₂)→R₂-R₁∈F⁺
         (证明：参看课本P124)

      例4.4.5：关系模式R(SAIP),F={S→A,SI→P},ρ={R₁(SA),R₂(SIP)}
          检验分解是否为无损联接？

      解：R₁∩R₂=SA∩SIP=S R₁-R₂=SA-SIP=A,S→A∈F,所以ρ是无损分解。

      7、定理4.4.3(逐步分解定理——关系模式可以逐步进行分解）
         设F是关系模式R的函数依赖集，ρ={R₁,R₂,…,R_k}是R关于F的一个无损联接。

         分解：

      (1)若σ={S₁,S₂,…,S_m}是R_i关于F_i的一个无损联接分解，则
         ε={R₁,…,R_i-1,S₁,S₂,…,S_m,R_i+1,…,R_k}是R关于F的无损联接分解。
         其中F_i=π_Ri(F)。

      (2)设τ={R₁,…,R_k,R_k+1,…,R_n}是R的一个分解，其中τ≥ρ（表τ包含ρ） ，
         则τ也是R关于F的无损联接分解。

　

有关系模式R(A,B,C), ρ={R₁,R₂}为它的一个分解，
          其中R₁=AB,R₂=BC,r为R的一个关系，r₁=π_R1(r),r₂=π_R2(r),
          求r₁，r₂，m
  三、分解的函数依赖保持性

      1、定义
             设F是关系模式R的函数依赖集，
         ρ={R₁<U₁,F₁>, R₂<U₂,F₂>,…, R_k<U_k,F_k>}为R的一个分解，
         如果F_i=πR_i(F)的并集(F₁∪F₂∪…∪F_k)≡F（i=1,2,…,k）
         则称分解ρ具有函数依赖保持性。

      2、例题与练习

      例4.4.6：将R=(ABCD,{A→B,B→C,B→D,C→A})分解为
          关于U₁=AB，U₂=ACD两个关系，求R₁、R₂，
          并检验分解的无损联接性和分解的函数依赖保持性。

      解：F₁=πR₁(F)={A→B,B→A},
          F₂=πR₂(F)={A→C,C→A,A→D}
          R₁=(AB,{A→B,B→A})
          R₂=(ACD,{A→C,C→A,A→D})
          U₁∩U₂=AB∩ACD=A,
          U₁-U₂=AB-ACD=B,A→B∈F,
          所以ρ是无损分解；
          F₁UF₂={A→B,B→A,A→C,C→A,A→D}≡{A→B,B→C,B→D,C→A}=F
          所以ρ是函数依赖保持性。

      例4.4.7：关系模式R(A,B,C,D) 函数依赖集F={A→B,C→D},ρ={R₁(AB)，R₂(CD)}
          求R₁,R₂ ,并检验分解的无损联接性和分解的函数依赖保持性。

      解：F₁=π_R1(F)={A→B},
          F₂=π_R2(F)={C→D}
          R₁(AB,{A→B}),
          R₂(Cd,{C→D})
          U₁∩U₂=AB∩CD=Φ,
          U₁-U₂=AB,
          U₂-U₁=CD,
          Φ→ABF,
          Φ→CDF,
          所以ρ不是无损分解。

      练习4.4.2：已知关系模式R(CITY,ST,ZIP), F={(CITY,ST)→ZIP,ZIP→CITY}
            以及R上的一个分解ρ={R₁, R₂}, R₁ ={ST,ZIP}, R₂ ={CITY,ZIP}
            求R₁,R₂ ,并检验分解的无损联接性和分解的函数依赖保持性。

      答案：R₁=({ST,ZIP},{Φ}) R₂=(CITY,ZIP,{ZIP→CITY})
           ρ是无损分解,但不具有函数依赖保持性。