欧拉函数

欧拉函数：phi(n) = the number of i where gcd(i,n) = 1 and 1 <= i <= n.

解法：容斥原理。

先将 n 分解质因数，然后 phi(n) = Σphi(p_i) - Σphi(p_i * p_j) + Σphi(p_i * p_j * p_k)  - ... 。

可简化成式子 phi(n) = n * (1 - 1/pi) * (1 - 1/pj) * ... 。

在线版。

#include <stdio.h>int euler(int n){    int ret = n;    for(int i=2;i*i<=n;i++)    {        if(n % i == 0)        {            ret = ret / i * (i - 1);            while(n % i == 0)                n /= i;        }    }    if(n != 1)        ret = ret / n * (n - 1);    return ret;}

预处理版。

#include <stdio.h>const int N = 1e5 + 5;int phi[N];void pre_euler(){    phi[1] = 1;    for(int i=2;i<N;i++)    {        if(!phi[i])        {            for(int j=i;j<N;j+=i)            {                if(!phi[j])                    phi[j] = j;                phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);            }        }    }}

欧拉函数的和：phi_sum(n) = the sum of phi(i) where gcd(i,n) = 1 and 1 <= i <= n.

phi_sum(n) = n * phi(n) / 2 (n >= 2) .

phi_sum(n) = 1 (n == 1) .