马氏距离与协方差矩阵
来源:互联网 发布:java 规则引擎 比较 编辑:程序博客网 时间:2024/03/29 19:09
今天看到“马氏距离”的字眼,原来简单的认为是加权的欧氏距离,在wiki上查过之后发现原来想简单了,马氏距离能够描述不同维之间的关联性,其关键在于它用到了协方差矩阵,下面是wiki上的介绍:
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在统计学与概率论中,协方差矩阵(或称共变异矩阵)是一个矩阵,其每个元素是各个向量元素之间的方差。这是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。
假设X是以n个标量随机变量组成的列向量,
并且μi 是其第i个元素的期望值, 即, μi = E(Xi)。协方差矩阵被定义的第i,j项是如下协方差:
即:
矩阵中的第(i,j)个元素是Xi与Xj的协方差。这个概念是对于标量随机变量方差的一般化推广。
尽管协方差矩阵很简单,可它却是很多领域里的非常有力的工具。它能导出一个变换矩阵,这个矩阵能使数据完全去相关(decorrelation)。从不同的角度看,也就是说能够找出一组最佳的基以紧凑的方式来表达数据。(完整的证明请参考瑞利商)。 这个方法在统计学中被称为主成分分析(principal components analysis),在图像处理中称为Karhunen-Loève 变换(KL-变换)。
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马氏距离是由印度统计学家马哈拉诺比斯(P. C. Mahalanobis)提出的,表示数据的协方差距离。它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法。与欧氏距离不同的是它考虑到各种特性之间的联系(例如:一条关于身高的信息会带来一条关于体重的信息,因为两者是有关联的)并且是尺度无关的(scale-invariant),即独立于测量尺度。 对于一个均值为协方差矩阵为Σ的多变量向量,其马氏距离为
马氏距离也可以定义为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为Σ的随机变量与的差异程度:
如果协方差矩阵为单位矩阵,那么马氏距离就简化为欧式距离,如果协方差矩阵为对角阵,则其也可称为正规化的欧氏距离'.
其中σi
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