[编程之美] PSet2.4 统计1的数目



问题描述：

给定一个十进制正整数N，写下从1开始，到N的所有整数，然后数一下其中出现的所有”1“的个数。

例如：

N=12，我们会写下1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，于是出现1的个数为5.

问题是：

           1.写一个函数f(N)，返回1到N之间出现“1”的个数，比如f(12) = 5;

           2.满足条件“f(N) = N”的最大N是多少？

问题一：

             解法一：考虑从1遍历到N，寻找出所有出现1的个数之和。

                                      这个算法致命伤的效率较低，时间复杂度为Ｏ(N)*计算一个整数内1的个数复杂度，对于后半部分，由于每次计算一次都缩小10倍，因此复杂度为lgN(以10为底)，故算法总复杂度O(N * lgN)。

//下面的代码是计算1-N中连续的一串数字中1出现的次数//解法一：遍历1-N，寻找1出现的次数和int findOneNum(int N){    int count = 0;    int temp = 0;    for(int i=1 ; i<=N ; i++){        temp = i;        while(temp){            if(temp%10 == 1){                count++;                temp = temp/10;            }        }    }    return count;}

                   解法二：解法一硬伤是遍历，那么能否找到另外一种机制避免遍历1-N呢？可以通过归纳总结的方法找出规律进行快速计算。

下面是讨论的情况：

/*伪代码形式：以N位数为基础讨论1出现的次数情况一：假设N只有1位*/if(N >= 1) count = 1;else if(N = 0) count = 0;//情况二：假设N有2位int gewei = N%10;int shiwei = N/10;if(shiwei = 0)    count = 1;//退化到情况一else if(shiwei=1)    count = (gewei+1) + (shiwei+1);//考虑13，十位出现1为10 11 12 13，个位出现1为1 11else if(shiwei >= 2)    count = 10 + (shiwei+1);//考虑33，十位出现1为10-19，个位出现1为1 11 21 31/*情况三：假设N有3位直接考虑一个例子：113与123对于113，百位出现1为100-113，即(113-100+1)，对于十位出现1次数为10-13(二位数部分)，以及110-113（三位数部分）对于个位出现1为1 11 21 31 ··· 101 111总共11+1种（由十位百位决定）*//*情况四：假设N为abcde由情况三分析可以知道某一位出现1的次数与三部分有关，以百位出现1次数进行分析：由百位、低位、高位共同决定，如12013，百位为0，高位为12，低位为13*/int baiwei ;int baiwei_count;//百位给count的贡献if(baiwei = 0)// 如12013，百位出现1：100-199 1100-1199 2100-2199 ···11100-11199（高位贡献）    baiwei_count = gaowei*100;else if(baiwei = 1)//如12113，百位出现1：100-199 1100-1199···11100-11199（高位贡献）和12100-12113（低位贡献）    baiwei_count = gaowei*100 + (diwei+1);else if(baiwei >= 2)//比如12213，百位出现1:100-199 1100-1199···12100-12199（高位贡献）    baiwei_count = (gaowei+1)*100;

下面给出实现的伪代码：

//下面是实现统计1-N中1的数目的代码//使用归纳分析方法分析数字规律int sum1s(int N){    int count = 0;    int iFactor = 1;//变权因子，用于遍历N中不同位，作为本位权值    int currentBit = 0;//本位    int upperBit = 0;//高位    int lowerBit = 0;//低位    while(N/iFactor){         currentBit = (N/iFactor) % 10;//分析12306，iFactor=10，此时要拿出0,123已经6赋值         upperBit = N/(iFactor*10);         lowerBit = N - (N/iFactor)*iFactor;         switch(currentBit){            case 0:                   count += upperBit*iFactor;break;            case 1:                   count += upperBit*iFactor+lowerBit+1;break;            default:                count += upperBit*iFactor;break;        }        iFactor *= 10;    }    return count;}

       这个方法只需要对N进行处理，避开了对1-N的遍历，时间复杂度由N的长度决定，即O(N的长度)，由于为十进制数据，N的长度=lgN+1;故该算法复杂度为O(lgN + 1)，注意到lg以10为底。

问题二：满足条件“f(N) = N”的最大N是多少？

               这个问题依旧可以使用归纳总结的方法找规律：

//确定最大的N，下面给出分析过程/*  num         f(num)9以下         199以下      1*10+10*1=20  999以下    1*100+10*10+100*1=300  9999以下   1*1000+100*10+10*100+1*1000=4000······999 999 999以下   900 000 0009 999 999 999以下  10 000 000 000*//*设n为num的位数由数字关系可以分析出f(10^n-1) = n*10^(n-1);从f(n)递增关系可以看到当n大于一定值时，f(n)>n,如上表中f(10^10-1) > 10^10-1;所以可以从n=10^10-1开始向前追溯(向0递减)，依次检查是否有f(n)=n，得出的第一个满足条件的1 111 111 110是满足f(n)=n的最大整数*/int sum1s(int N);typedef long long LLint main(){    const LL N=99999999999;    for(LL i=N ; i>0 ; i--){        if(sum1s(i)==i){            printf("%11d\n" , i);            break;        }    }    return 0;}