最短路径Ⅰ—Dijkstra算法

Dijkstra算法

注意：

1.Dijkstra算法既可以求无向图也可以求有向图最短路径。

2.Dijkstra 算法为什么边上的权值非负?

Dijkstra算法当中将节点分为已求得最短路径的集合（记为S）和未确定最短路径的个集合（记为V-S），归入S集合的节点的最短路径及其长度不再变更，如果边上的权值允许为负值，那么有可能出现当与S内某点（记为a）以负边相连的点（记为b）确定其最短路径时，它的最短路径长度加上这条负边的权值结果小于a原先确定的最短路径长度 而源点s到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点s到V-S中任何顶点的最短路径长度，而此时a在Dijkstra算法下是无法更新的，由此便可能得不到正确的结果。求带负权值边的单源最短路径可以用Bellman-Ford算法。

1.定义概览

Dijkstra算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

 

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用V-S表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点s到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点s到V-S中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从s到此顶点的最短路径长度，V-S中的顶点的距离，是从s到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。(原作者写得有点绕口，多读几遍就能理解)

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{s}，s的距离为0。V-A包含除s外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若s与V-A中某顶点有边，则正常有权值，若某顶点不是s的邻接点(Adjacenct Vertex)，则权值为∞。

b.从V-A中选取一个距离s最小的顶点u，把u加入S中（该选定的距离就是s到u的最短路径长度）。

c.以u为新考虑的中间点，修改V-A中各顶点的距离；若从源点s到顶点v的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。（这么多废话，两行伪代码）

if d[v]>d[u]+w(u,v)    then d[v]←d[u]+w(u,v)

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

 

执行动画过程如下图

 

3.算法代码实现：

const int  MAXINT = 32767;const int MAXNUM = 10;int dist[MAXNUM];int prev[MAXNUM];int A[MAXUNM][MAXNUM];void Dijkstra(int v0){  　　bool S[MAXNUM];                                  // 判断是否已存入该点到S集合中      int n=MAXNUM;  　　for(int i=1; i<=n; ++i) 　　 {      　　dist[i] = A[v0][i];      　　S[i] = false;                                // 初始都未用过该点      　　if(dist[i] == MAXINT)                　　prev[i] = -1; 　　     else             　　prev[i] = v0;   　　}   　 dist[v0] = 0;   　 S[v0] = true; 　　 　　 for(int i=2; i<=n; i++) 　　 {       　　int mindist = MAXINT;       　　int u = v0; 　　                            // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值      　　 for(int j=1; j<=n; ++j)      　　    if((!S[j]) && dist[j]<mindist)      　　    {         　　       u = j;                             // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码          　 　      mindist = dist[j];       　　   }       　　S[u] = true;        　　for(int j=1; j<=n; j++)       　　    if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT)       　　    {           　    　if(dist[u] + A[u][j] < dist[j])     //在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径             　    　{                   　　dist[j] = dist[u] + A[u][j];    //更新dist                    　　prev[j] = u;                    //记录前驱顶点             　　    }        　    　}   　　}}

4.算法实例

先给出一个无向图

用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下

http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html