稀疏表达：向量、矩阵与张量

转自http://www.cvchina.info/2010/06/01/sparse-representation-vector-matrix-tensor-1/

上篇

稀疏表达是近年来SP, ML, PR, CV领域中的一大热点，文章可谓是普天盖地，令人目不暇给。老板某门课程的课程需要大纲，我顺道给扩展了下，就有了这个上中下三篇介绍性质的东西。遗憾的是，我在绝大多数情况下实在不算是一个勤快的人，这玩意可能充满bug，更新也可能断断续续，尽请诸位看官见谅了。顺道一提，ICCV09有一个相关的 tutorial。

据传博文里公式数量和其人气是成反比例关系的，一个公式可以驱散50%的读者，我写完这个（上）之后点了点公式数量，觉得大约是要无人问津了。所以，在介绍稀疏表达之前，让我们先来展示下其在computer vision中的应用，吸引下眼球。

首先是图像恢复（以前有人贴过Obama还记得不），由左侧图像恢复出右侧结果

然后是类似的图像inpainting

然后是图像去模糊，左上为输入模糊图像，右下为输出清晰图像及估计的相机运动（其实是PSF），中间均为迭代过程:

再然后是物体检测（自行车），左侧输入图像，中间为位置概率图，右侧为检测结果

当然我个人还推荐Yi Ma的sparse face，这个在对抗噪声的效果上很棒，比如下图中左侧的那张噪声图像（你能辨认是哪位不？这方法可以！）

且说sparse representation这个概念，早在96-97年的时候就火了一把。最著名的大约要数Nature上的某篇文章，将稀疏性加入least square的regularization，然后得到了具有方向特性图像块（basis）。这样就很好的解释了初级视皮层（V1）的工作机理，即对于线段的方向选择特性。几乎同一时期，著名的LASSO算法也被发表在 J. Royal. Statist. Soc B。Lasso比较好的解决了least square (l2 norm) error + l1 norm regularization的问题。然而，这个时候绝大多数人没有意识到（或者没法解决）这l1 norm和稀疏性之间的联系。其实早在这之前，Osher等人提出的Total Variation （TV）已经包含了l1 norm的概念了，只不过TV原本是连续域上的积分形式。（啥？你不知道Osher…想想Level Set吧）

在进入现代的压缩感知、稀疏表示这一课题前，让我们来首先回顾下这一系列问题的核心，即线性方程组
其中矩阵，通常而言是满秩的。向量。现在已知，求解。学过线性代数的同学可能都会说：这个不难啊，因为， 故而这个方程组是欠定的，所以有无穷多组解啊，咱还可以算算基础解系啥的…

但是如果我们希望其解尽可能的稀疏：比如（即中非零元个数）尽可能的小。那么问题就会变得比较微妙了，下图给出了问题的形象示意。

换言之给定m维空间中一组过完备的基，如何选择最少个数的基向量，重构给定向量，其严格定义可以写成

时光之轮播快到2003~2004年，Donoho & Elad做了一个很漂亮的证明，如果矩阵满足某种条件，具体而言：

那么上文提及的0范数优化问题具有唯一的解。这里的是个比较诡异（请允许我使用这词）的定义：最小的线性相关的列向量集所含的向量个数（吐槽：明白了么，我做TA的时候就被这个问题问倒了）。本来想在这个概念上唠叨两句，后来发现了Elad的一个talk，清晰明了。

即便是唯一性得到了证明，求解这个问题仍然是NP难的。科研的车轮滚滚向前，转眼到了2006年，传奇性的华裔数学家Terrence Tao登场了，Tao和Donoho的弟子Candes合作证明了在RIP条件下，0范数优化问题与以下1范数优化问题具有相同的解：

其中RIP条件，即存在满足某种条件的（与N相关）常数:

RIP条件是对于矩阵列向量正交性的一种衡量（此处咱就不细说了）。其实早在1993年Mallat就提出过Mutual Coherence对于正交性进行度量，并提出了下文还要提及的matching pursuit方法。

实际上以上的1范数优化问题是一个凸优化，故而必然有唯一解，至此sparse representation的大坑初步成型。总结一下：
1. 如果矩阵满足，则0范数优化问题有唯一解。
2. 进一步如果矩阵满足RIP条件，则0范数优化问题和1范数优化问题的解一致。
3. 1范数优化问题是凸优化，故其唯一解即为0范数优化问题的唯一解。

进一步可以考虑含噪声情况，即

可以得到相似的结果，有兴趣的同学可以查阅相关文献。理论坑只有大牛能挖，但一般人也能挖挖这个优化算法啊，于是SP、ML、CV邻域里都有做这个优化算法的，这个出招可就真是五花八门了。据我所知，大致可以分为三大流派：
1. 直接优化

一般的方法是greedy algorithm，代表有Matching Pursuit, Orthogonal Matching Pursuit
2. 优化

还记得上面提到的LASSO么，这就是它的模型。
3. 如果已知拉格朗日乘子，优化无约束凸优化问题

解这个的方法现在基本上soft thresholding的方法一统天下，常见的有coordinate descent, Bregman Iteration (又是Osher)等
4. 如果未知拉格朗日乘子，优化

这类方法又叫Homotopy，可以认为是3的扩展。核心出发点是objective function是的分段线性函数。

除此之外，还有利用p范数逐次逼近0范数的方法等等，此处不再赘述。顺道说一句，稀疏表示在不同的领域连名称都不同，搞信号的管这个叫basis pursuit，搞统计的叫l1 regularization….然后，让我们把话题拉回到Nature的那篇文章：如果我们不知道矩阵，只知道一堆向量。我们应当如何构造，使得在这一字典（矩阵）下的表示最稀疏？类比以上过程，这个问题被称为Dictionary Learning，可以写成以下优化问题：

这个东西可就相对麻烦了，最关键的是这个优化不是凸的（优化变量相乘）。所以一般的想法是block descent：首先固定，优化（相当于多个独立的1范数优化问题）；其次将计算出的固定，优化，这就是一个（可能带约束）的least square问题。如此反复，直到算法收敛到某个（局部）极小值。实际上解这个问题的方法目前有三种：efficient sparse coding algorithm NIPS 06; K-SVD tsp 06; Online dictionary learning for sparse coding, ICML 09 & JMLR 10。前两种都是batch的方法，后一种是online的，据个人测试最后一种的方法比前两者要快很多很多….下面这个是我利用ICML09的方法从1200张彩色图像中训练出一组过完备基，具有比较好的方向特性。

最后，还记得本文开头的那些demo么？INRIA做了一个sparse representation的matlab工具包SPAMS，虽然不开源，但其效率（大部分时候）是现有公开工具包之冠（底层用了intel的MKL），利用这个工具包，几行简单的matlab代码就可以几乎实现以上提及的所有demo了….大家有兴趣的话，欢迎尝试^_^

下期预告：借着collaborative filter的东风，Candes在08年又挖出了matrix completion的新坑。于是，当向量的1范数推广到矩阵的迹范数（trace norm）之后…..

中篇

在开始正文之前，咱首先得说明一下，这篇东西偏向于理论，各位看官可以自行跳过某些部分。这方面的工作奠基人同样也是compressive sensing的大牛之一E.J Candes（Donoho的得意门生），以及Candes的学生Ben Recht，前者刚从caltech被挖到stanford，后者目前刚到wisconsin做AP。Candes大牛，stanford统计系出生，师从Donoho。Candes原来的主要工作集中在小波分析上（实际上C牛非常多产），比如著名的curvelets以及ridgelets，04年左右开始和Tao合作从事compressive sensing的理论工作，这里有他的简要介绍。

继续唠叨，上回说到借着collaborative filtering的东风，矩阵的稀疏表示受到了广泛的关注。说到矩阵的稀疏性，大部分看官可能有所误解。这个矩阵稀疏表示严格而言可以分为两种：
1. 矩阵元素的稀疏性，即矩阵非0元个数相对较少。参照向量的范数，同样可以定义矩阵的0范数，并将其松弛到矩阵的1范数的优化问题。
2. 矩阵奇异值的稀疏性，即矩阵奇异值中非0元的个数（即矩阵的秩）相对较少。仿照向量情况下0范数与1范数的关系，同样可以将其松弛的到迹范数（trace norm）的优化问题。

咱下面会分别聊聊这两个问题。首先，咱的出发点是machine learning中的collaborative filtering，这个概念并不是啥新东西了，最早大约可以追朔到1992的某篇同名文章。这玩意是做啥的呢，通俗的说，每次你在淘宝上闲逛的时候，下面都会有一行推荐商品。这些个网络服务商（淘宝，Amazon, Ebay）就在想了，如果这个推荐系统做的足够好，那么消费者（比如你我）的购物欲望就会得到刺激，这个销量也就上去了。实际上，这和超市里玲琅满目的货架是一个道理。

这里就得提提Netflix Prize这件事了，话说netflix是家在线dvd租赁公司，这公司就抱了同样的想法。不过这家公司想了个主意：该公司提供数据，出资100万美刀，奖励研发这个推荐系统算法的小组，并要求这些算法发表在学术会议或期刊之上。这可以算是现实版的百万富翁了（学术和money两不误），于是collaborative filtering着实火了一把（比如SIGKDD上的不少文章）。最终历时两年，由AT&T实验室成员组成的BellKor’s Pragmatic Chaos赢得了这100万刀。顺到一提，国内也有不少家伙参与了这个Prize，比如排名第二的Ensemble组里就能看到中科院某所学生的身影。

这个推荐系统咋做呢？我们先从简单的模型开始。以netflix为例，netflix有个影评系统，在你租完DVD以后会让你打分（1-5分）。当然不是所有人都会认真去打，实际上只有少数家伙会给打分（这世界上懒人何其之多）。同样，对每个用户而言，他也只可能给部分看过的DVD打分。假设现在有个用户和部电影，如果把所有评分列成一张大表，可以得到矩阵。其中，每一行对应一个用户的评分，每一列对应一部电影的用户评价。可以想象，这个矩阵中只有少部分元素是已知的（图1）。

从现有的用户数据，来预测未知的用户数据，这就是collaborative filtering了。那么这个东西怎么实现呢？解释起来难，做起来容易，这个模型放在在topic model里叫做Probabilistic latent semantic analysis （PLSA），放在代数里叫做矩阵分解（Matrix Fatorization）或者矩阵填充（Matrix Completion），这里就只能形象的解释下。虽然用户千奇百怪、电影成千上万，但总可以归结为若干类型：比如有腐女向、宅男向电影之分，再比如有悲剧也有喜剧。如果把这些latent factor画成一个空间，那么不同的用户群体应当位于这个latent factor空间的不同位置，体现了不同用户的喜好。如果可以把用户喜好连同潜在的latent factor一同计算出来，预测也自然水到渠成了。从某种角度来看，奇异值分解过程也就是上述的剥离latent factor和用户喜好的过程，这其中的philosophy可以参见这篇文章。

咱首先要谈的是矩阵奇异值的稀疏性，为此先来回忆下奇异值分解。
1. 奇异值非负，即
2. 奇异值非0元的个数即为矩阵的秩（rank）
如果把奇异值写成对角矩阵的形式（比如SVD分解的标准形式），其对角元为。进一步，矩阵的迹范数（trace norm）定义为矩阵奇异值之和，即有

现在我们可以把collaborative filtering的基本问题回顾一下，给定一张推荐数据表，已知其下标子集中的元素（也就是有评分的部分），如何恢复这个矩阵？这就是matrix completion的问题了…

乍眼一看，这基本就是mission impossible了，即使只有一个元素未知，这个矩阵也不可能唯一。但是如果我们加一些限制条件，这个问题就变得有趣起来了。Candes考虑的是这么一个问题：

其中表示在子集上的投影（即只取子集上的对应元素）。实际上，同样的问题可以有不同的表达形式，如果把这个优化问题稍作调整，可以得到相对容易解释的模型：

其中Frobenius范数也就是矩阵的2范数。从这个式子来看，我们希望找到这么一个矩阵，使得其在已有的数据上和用户评分尽可能的一致（2范数意义下），同时具有比较低的秩（受到上限的约束）。这里对于秩的约束，很多时候是为了降低模型自身的复杂度（比如collaborative filtering，multiple instance learning）。当然，这里也可以看成是一个fidelity term + regulariztion term的经典形式。

实际上矩阵的rank是一个不那么友好的函数，rank自身是非凸、不连续的，最后的结果就是对于rank的优化问题是NP难的。类比0范数与1范数的关系，矩阵的秩（rank）相当于这个对角阵的0范数；矩阵的迹范数（trace norm）相当于这个对角矩阵的1范数。为此，如果这个对角矩阵足够稀疏，即矩阵的秩，那么可参照向量的稀疏表示，利用矩阵的迹范数(trace norm)代替矩阵的秩（rank）。

同样，由于迹范数(trace norm)是凸的，上式是一个凸优化问题，故而必有唯一的最优解。如果这种近似是可以接受的，那么这个问题自然也就解决了。

这种近似靠谱么？这就是Candes和Recht回答的关键问题。Candes从random orthogonal model出发，证明了在此假设下从某个秩为的真实矩阵中均匀抽取个元素，且满足(这里不妨设，反之只需要转置即可)

则凸优化问题的唯一最优解至少以概率逼近原始矩阵，即有

其中均为某常数。更进一步，如果矩阵的秩足够小，对于元素数量的要求会进一步降低。

咱来聊聊这个结果，这说明在random orthogonal model假设成立的条件下，如果相对于比较小，那么只需要知道这个矩阵中约个元素，就可以很高的概率恢复出这个矩阵。举例而言，如果我们有一个秩为10的矩阵，那我们大致只需要从中随机抽取约270万个元素就可以（以很高概率）恢复出原始矩阵了(当然270万貌似也是一个很大的数，但原始矩阵约含有1700万个元素…）。实际上，这是一个相对保守的界，Recht在此基础上还进行了一系列的理论工作。自从出现了这个之后，under mild condition，大家都把rank直接放成trace norm了…从实用的角度来说，Candes告诉我们用凸优化去近似一个NP问题，可能得到很好的解。从实验结果来看（代码见此），这种近似有时候效果一流，但有时候也根本不work（违背了假设条件），故而具体问题还得具体对待。

虽然早在04年NIPS上，就有人提出了类似的优化方法（MMMF），用trace norm代替rank，并且ML领域中也确实有不少类似的工作。但是，Candes的工作解决了根本的理论问题，并为一系列的rank minimization的问题指了一条出路。这里有一个比较有意思的地方是，MMMF是从构造最大间隔线性分类器的角度出发来考虑matrix factorization的问题，并且用的是low norm，但和matrix completion的模型本质上是差不多的，两者关系大家可以自行推导下。

咱接着要讨论的是矩阵元素的稀疏性，这个工作也和Candes有着很大的关系。咱先把上面的公式照着copy一遍：

如果咱已知矩阵的全部元素，这个东西类似很常见的PCA了：

这样问题就变成了去噪+降维。进一步把F范数（2范数）改写为0范数：

为啥是0范数呢，这是基于这么一种假设：误差相对于总体样本而言总是稀疏的。于是，我们可以引入辅助变量表示误差，并把上式稍作改写：

这里的用于平衡矩阵的秩和误差的稀疏性。同样，rank和0范数什么的都是相当讨厌的东西，于是咱松弛一下，就有

这就是Robust Principle Component Analysis (RPCA) 或者Principle Component Pursuit 的核心模型了。这幅图很好的说明了RPCA和PCA的区别（转自Yi Ma主页）。

PCARPCA

说起RPCA，这里岔开两句，这个东西原来是Yi Ma的学生John Wright发在NIPS09上的一篇文章。结果接收之后，被Candes指出了一个bug（审稿人没看出来），于是Candes对这个问题进行了考虑，从而就有了一篇叫做《Robust Principal Component Analysis?》的文章（preprint）。Candes证明了在同matrix completion基本相同的假设下，这种近似以很高的概率恢复精确结果（详细结果可见RPCA的论文）。特别的，此时可以简单选择参数。Matrix Completion（MC）和 RPCA在Yi Ma的主页上有一个简单的介绍，上面列举了相关文献与代码的链接。

MC和RPCA在computer vision上有啥用呢？John Wright在NIPS的文章里做了两个实验：背景建模，人脸阴影去除。大家有兴趣可以查查cvpr 10的paper, 有用MC来做video denoising的，有用RPCA来做人脸对齐的…还有那篇best paper也是紧密相关。咱本来还想聊聊这些模型的优化算法，鉴于篇幅所限，就只能留到（下）篇去了。

最后，下期预告：优化方法，模型变种，张量推广…其实最关键的老天保佑咱有时间写….