Savitzky-Golay 滤波器及其应用（光谱分析领域）

Savitzky-Golay滤波器（通常简称为S-G滤波器）最初由Savitzky和Golay于1964年提出，发表于Analytical Chemistry 杂志。之后被广泛地运用于数据流平滑除噪，是一种在时域内基于局域多项式最小二乘法拟合的滤波方法。这种滤波器最大的特点在于在滤除噪声的同时可以确保信号的形状、宽度不变。

这种滤波方法其实是一种基于最小二乘拟合的滤波方法，这里重点描述其推导过程并在最后给出其matlab程序实现。

信号的最小二乘拟合

信号的最小二乘拟合的基本思想可以用图 1来说明

在平面坐标系中，信号可以看成一列离散的数据的集合，这列数据x[n]在图1中用实心的圆点表示。可以用一条曲线来拟合这样一组数据，不妨设这条曲线的方程为

当这组数据的每个点的横坐标带入到曲线方程中可以得到其对应的函数值，而当其函数值与对应点的纵坐标差值的平方和最小时，该曲线拟合度最高，从而可以由此求出方程系数。

现推导Savitzky-Golay滤波器的计算方法。考虑一组以为中心的2M+1个数据点，可用以下多项式p(n)来拟合它：

则其最小二乘拟合的残差为：

使最小，令对系数求导，且导数为0，得：

即：

令：

则，原方程可以化简为：

Savitzky-Golay使用简单的多项式卷积方法，并制定了卷积系数表，通过卷积系数计算多项式系数，方便且快速。