2014-7月~2014-10月总结

从7月份到现在，经过这三个月的训练学习，我的收获其实挺多的，也掌握了不少新的基础的算法，所以今天就在这总结一下：

等等，我先说明一下：动态规划和搜索，这两个最基础但是也是最最重要的算法，我自以为还没有吃透，所以在此就不做总结了，但会在这两周快速消化，并总结出来。

一、我先学习了各种排序算法：包括冒泡排序，选择排序，插入排序，双向冒泡排序， 桶排序，堆排序，希尔排序，快速排序，归并排序；

但是学习之后发现，真正在比赛中考到的其实无非就是快速排序，堆排序，归并排序。堆和归并其实也少，但也会用到，一定要掌握，因为有一些题目会故意卡快排。倒也不是说，冒泡，选择那些学了没用。比如有的题，用插入排序对数据微调整就是要比用快排，归并什么的重排效率高，还有一些简单题，没必要打什么归并的，一个冒泡打出去照样解决，还很简单。而且老话说的好：技多不压身。会了总比不会强很多，而且这也是最基础的，都必须掌握。

接下来，我就来总结一下代码（主要是快排和归并）

1、快排

快速排序是冒泡排序的一种改进。它的基本思想是：通过一趟排序将待排记录分割成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分的关键字小，则可分别对这两部分记录继续进行排序，以达到整个序列有序。快速排序的时间复杂度是O(nlogn)，速度快，但它是不稳定的排序算法。就平均时间而言，快速排序时目前被认为是最好的一种内部排序方法。

2、归并排序

归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。
归并排序的效率是比较高的，设数列长为N，将数列分开成小数列一共要logN步，每步都是一个合并有序数列的过程，时间复杂度可以记为O(N)，故一共为O(N*logN)。因为归并排序每次都是在相邻的数据中进行操作，所以归并排序在O(N*logN)的几种排序方法（快速排序，归并排序，希尔排序，堆排序）也是效率比较高的。

其的基本思路就是将数组分成二组A，B，如果这二组组内的数据都是有序的，那么就可以很方便的将这二组数据进行排序。如何让这二组组内数据有序了？

可以将A，B组各自再分成二组。依次类推，当分出来的小组只有一个数据时，可以认为这个小组组内已经达到了有序，然后再合并相邻的二个小组就可以了。这样通过先递归的分解数列，再合并数列就完成了归并排序。

3、sort函数

这个函数就是简单版的快排，有了这个函数，就不用再打代码了

二、高精度算法

高精度算法其实很好理解，完全就是一个竖式计算的模拟，所以原理什么的不用多说，直接上代码

首先我们需要将读进来的字符串转化成数组储存

1、加法

2、减法

3、乘法

4、除法

(1)高精除以低精

   

(2)高精除以高精

   

三、并查集

     

并查集

维护一些不相交的集合，它是一个集合的集合。每个元素恰好属于一个集合，好比每条鱼装在一个鱼缸里。每个集合S有一个元素作为集合代表"rep[S]，好比每个鱼缸选出一条"鱼王"。并查集提供三种操作：

MakeSet(x)：建立一个新集合x。x应该不在现有的任何一个集合中出现。
Find(S, x)：返回x所在集合的代表元素。
Union(x, y)：把x所在的集合和y所在的集合合并。

森林表示法

可以用一棵森林表示并查集，森林里的每棵树表示一个集合，树根就是集合的代表元素。一个集合还可以用很多种树表示，只要树中的结点不变，表示的都是同一个集合。

合并操作

只需要将一棵树的根设为另一棵即可。这一步显然是常数的。一个优化是：把小的树合并到大树中，这样会让深度不太大。这个优化称为启发式合并.

查找操作

只需要不断的找父亲，根就是集合代表。一个优化是把沿途上所有结点的父亲改成根。这一步是顺便的，不增加时间复杂度，却使得今后的操作比较快。这个优化称为路径压缩。

代码：

四、最短路

(1)spfa算法

    SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)是Bellman-Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余计算。

算法大致流程是用一个队列来进行维护。 初始时将源加入队列。 每次从队列中取出一个元素，并对所有与他相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队。 直到队列为空时算法结束。

设Dist代表S到I点的当前最短距离，Fa代表S到I的当前最短路径中I点之前的一个点的编号。开始时Dist全部为+∞，只有Dist[S]=0，Fa全部为0。

维护一个队列，里面存放所有需要进行迭代的点。初始时队列中只有一个点S。用一个布尔数组记录每个点是否处在队列中。

每次迭代，取出队头的点v，依次枚举从v出发的边v->u，设边的长度为len，判断Dist[v]+len是否小于Dist[u]，若小于则改进Dist[u]，将Fa[u]记为v，并且由于S到u的最短距离变小了，有可能u可以改进其它的点，所以若u不在队列中，就将它放入队尾。这样一直迭代下去直到队列变空，也就是S到所有的最短距离都确定下来，结束算法。若一个点入队次数超过n，则有负权环。

改进： 1、第二步，不是枚举所有节点，而是通过队列来进行优化 设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。 2、同时除了通过判断队列是否为空来结束循环，还可以通过下面的方法： 判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过V次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）。

(2)Floyd算法

1)算法思想原理：

     Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

      从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

2).算法描述：

a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。 　　

b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

以上就是这段时间真正掌握的，看起来好少的样子，不过没关系，这类题只要出现我差不多就能做对。另外这段时间我还学了搜索，状态压缩DP，树形DP，线段树，树状数组，只是这几类做题太少，或者说并没有完全理解，所以这次总结就没有把他们算在内。接下来两周（就是NOIP之前），在做往年NOIP题的同时，我还会继续深入的学习上面集中算法，吃透弄熟，备战NOIP2014。